Mehrdimensionales Newton-Verfahren

02.07.2021, 23:51

kiritsugu

Mehrdimensionales Newton-Verfahren

Meine Frage:
(a) hab ich schon, wie kann man (b) und (c) zeigen? (b) u. (c) werden ja wahrscheinlich ziemlich ähnlich funktionieren.

Meine Ideen:
Dachte erst man soll das Verfahren einfach nochmal für einen beliebigen Startwert kleiner bzw. größer 1 zeigen, aber das ist wohl zu einfach gedacht oder?

03.07.2021, 11:20

Huggy

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RE: Mehrdimensionales Newton-Verfahren Aufgabe
Du solltest erst mal die Aufgabe näher erläutern. Das mehrdimensionale Newton-Verfahren wird verwendet, um Nullstellen einer Funktion $\begin{eqnarray*} f: \; \mathbb R^n \to \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ zu finden. Die gegebene Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist aber eine Funktion $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Soll eventuell nach den Stellen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gesucht werden, die die notwendige Bedingung für ein lokales Extremum erfüllen? Dann ginge es um die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} \nabla f \end{eqnarray*}$ . Das kann aber eigentlich nicht sein, weil $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ nicht differenzierbar ist.

Es wäre auch hilfreich, wenn du deine Lösung zu a) zeigen würdest.

03.07.2021, 16:31

kiritsugu

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RE: Mehrdimensionales Newton-Verfahren Aufgabe
Ok hier a) nochmal als Bild. Ich hab erstmal Gradient und dann die 2. Ableitungen für die Hessematrix berechnet, ohne sie allerdings nochmal aufzuschreiben und hab dann iteriert. Ich hab (1,1) als Startpunkt gewählt, war mir nicht sicher ob ich jetzt entweder (1,-1) oder mir entweder (1,1) oder (-1,-1) aussuchen darf.

Ich bin bei der Aufgabe davon ausgegangen, dass die "Newton-Richtung" bestimmt werden soll.

03.07.2021, 17:25

kiritsugu

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RE: Mehrdimensionales Newton-Verfahren Aufgabe
Mit Newton Richtung wird die Abstiegsrichtung gemeint sein schätz ich mal

03.07.2021, 19:34

Huggy

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RE: Mehrdimensionales Newton-Verfahren Aufgabe

Zitat:

Original von kiritsugu
Dachte erst man soll das Verfahren einfach nochmal für einen beliebigen Startwert kleiner bzw. größer 1 zeigen, aber das ist wohl zu einfach gedacht oder?

Das ist schon die richtige Idee. Wichtig ist das beliebig. Man darf also keine konkreten Zahlen verwenden, sondern muss mit den Variablen arbeiten.

Statt $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2) \end{eqnarray*}$ schreibe ich mal $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ und die Indizes beziehen sich dann auf die Iterationstiefe. Als Iterationsvorschrift hast du gefunden

$\begin{eqnarray*} x_{k+1}=x_k-(|x_k|+1)^2 \frac {x_k}{|x_k|+1} \end{eqnarray*}$

Das gleiche ergibt sich für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ . Wenn man das ausrechnet, bekommt man

$\begin{eqnarray*} x_{k+1}=-x_k|x_k| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x_{k+1}|=|x_k|^2 \end{eqnarray*}$

Fortwährendes Quadrieren konvergiert bei einem Startwert $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ gegen Null und divergiert bei einem Startwert $\begin{eqnarray*} |x|>1 \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \pm \infty \end{eqnarray*}$ .

03.07.2021, 23:03

kiritsugu

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RE: Mehrdimensionales Newton-Verfahren Aufgabe
Ach hätt ichs mir man nochmal weiter vereinfacht, dann hätt ich bei a) gar nicht so viel schreiben brauchen und wär vielleicht selbst drauf gekommen. Besten Dank! Hätt ich bei a) dann eigentlich (1,-1) als Startwert nehmen müssen? Oder stimmt es so wie ich es gemacht hab?

04.07.2021, 07:28

Huggy

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RE: Mehrdimensionales Newton-Verfahren Aufgabe
Den Startwert hätte ich auch so interpretiert wie du. Aber auch der Startwert $\begin{eqnarray*} (1,-1) \end{eqnarray*}$ ändert nichts. Da die Jacobi-Matrix deiner Funktion eine Diagonalmatrix ist, iterieren $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ unabhängig voneinander.

04.07.2021, 11:33

kiritsugu

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RE: Mehrdimensionales Newton-Verfahren Aufgabe
Alles klar. Danke nochmal.

06.07.2021, 15:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von Huggy
Das kann aber eigentlich nicht sein, weil $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ nicht differenzierbar ist.

Die so angegebene Funktion nicht, weil sie für $\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x_2=0 \end{eqnarray*}$ gar nicht definiert ist. Betrachtet man aber die Logarithmus-Reihenentwicklung

$\begin{eqnarray*} t-\ln(1+t) = t-\left(t-\frac{t^2}{2}+O\left(t^3\right)\right) = \frac{t^2}{2}+O\left(t^3\right) \end{eqnarray*}$

und somit

$\begin{eqnarray*} f\left(\vec{x}\right) = \frac{x_1^2}{2}+\frac{x_2^2}{2} + O\left(x_1^3\right) + O\left(x_2^3\right)\qquad (*) \end{eqnarray*}$ ,

so ist eine stetige Fortsetzung der Funktion auf $\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x_2=0 \end{eqnarray*}$ möglich, und diese stetige Fortsetzung ist mit (*) dann auch differenzierbar.

EDIT: Ach Unsinn, die Funktion ist ja auch für $\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} x_2=0 \end{eqnarray*}$ definiert ... kleiner Blackout. Aber das Argument mit (*) ist schon richtig. Augenzwinkern

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