Dirac-Stoß, Greens Schwingungsgleichung

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Chander Auf diesen Beitrag antworten »
Dirac-Stoß, Greens Schwingungsgleichung
Die Schwingungsgleichung eines reibungsfreien horizontalen Federpendels sei


Die Anordnung ähnelt einem reibungsfreien Stoßdämpfer. Zum Zeitpunkt t=0 befindet sich die Masse in Ruhe und die Druckfeder ist um das Maß komprimiert, die Auslenkung der Masse in Ruhelage ist ebenfalls .
Auf die Masse wird einmalig ein Stoß in Längsrichtung der Druckfeder übertragen. Letztere wird folglich weiter komprimiert von auf . Die Stoßübertragung endet bei . Die Momentangeschwindigkeit der Masse beträgt nach dem Kraftstoß , die Dauer der Stoßübertragung sei.

Ausgehend von der Differentialgleichung des Einmassenschwingers

ist die "neue" Schwingungsgleichung gesucht.

Eine Funktionsgleichung der Stoßübertragung ist nicht bekannt. Deshalb wurden Mittelwerte verwendet. Für die Grundlösung folgt

bzw.


und man erhält für das Ende der Stoßübertragung

was sich wiedergeben lässt als


Nun zunächst die Frage, ob ich auf dem richtigen Weg bin. Und dann die große Frage, wie es nun weiter geht? Wie lassen sich x(t) und G(t) vereinen?
Chander Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Threads (hier, da und dort) sind sicherlich sehr ausführlich und hilfreich, aber ich kann die Ausführungen leider nicht vollumfänglich erfassen. Eventuell helfen kleinere Schritte mit Praxisbezug.

Was ich den Ausführungen entnehme: Dem Zeitpunkt t=0 geht die Störung voraus. Bei t=0 ist die Störung abgeschlossen. Als Folge aus der Störung ist die Auslenkung x(0) der Masse bei t=0 das Ergebnis der abgeschlossenen Wirkung des Kraftstoßes (vgl. Abb. - Skizze einer gedämpften Schwingung).

Wenn ich das richtig verstanden habe, geht es nun darum, mittels der Grundfunktion dieses "Vorspiel" zu erfassen. Hierbei sind die selben Elemente zu berücksichtigen, wie im übrigen Schwingungsverlauf des horizontalen reibungsfreien Einmassenschwingers, auf den sich dieses Beispiel bezieht.

Kann ich hierbei davon ausgehen, dass diese Krafteinwirkung zum Zeitpunkt gleich dem Kraftstoß ist, und somit gilt
?
Diese Frage stellt sich mir, weil von der Funktion nur bekannt ist, innerhalb welcher Zeit die Masse m ihre Endgeschwindigkeit annimmt. Also

Es wäre super, wenn jemand zu den bisherigen Ausführungen korrigierend reagieren könnte.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Die korrekte Aufgabe lautet:

____________________(Formel 1)

Die rechte Seite der Differentialgleichung besagt, dass zur Zeit ein Kraftstoß der Stärke erfolgt, wobei die Dimension einer Kraft hat, also .

Die Anfangsbedingungen lauten:


bei t=0

Lösung:
Man muss zwei Teillösungen unterscheiden:

- Lösung vor dem Stoß, also bei
- Lösung nach dem Stoß, also bei


Zur Lösung des Problems integrieren wir die Differentialgleichung (1) in dem kleinen Zeitintervall



Im Grenzwert hat man also

_______________Formel 2)

Mathematisch bedeutet das, dass die 1.Ableitung beim Kraftstoß zur Zeit einen Knick hat. Physikalisch bedeutet das, dass die Geschwindigkeit beim Kraftstoß ruckartig zunimmt, was einer Beschleunigung um den Wert entspricht. Andererseits muss die Lösung beim Kraftstoß stetig sein, denn die Masse kann nicht von einem Ort zum anderen "springen", also

______________(Formel 3)

Die Teillösungen vor dem Stoß lässt sich unmittelbar bestimmen. Die Teillösungen nach dem Stoß enthält noch unbekannte Kostanten. Beide Teillösungen lauten

- Lösung vor dem Stoß bei :
- Lösung nach dem Stoß bei :

Darin sind C und zwei unbekannnte Konstanten für die Teillösung nach dem Stoß. Um diese zu bekommen, setzen wir die beiden Teillösungen in die Formeln (2) und (3) ein und erhalten zur Zeit folgendes Gleichungssystem für die beiden Unbekannten:





Wenn man dieses Gleichungssystem nach C und löst, kennt man auch die zweite Teillösung für die Zeit nach dem Stoß und somit die Lösung für das gesamte Zeitintervall t>0.
Chander Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die gut verständliche und ausführliche Beschreibung. Selbstverständlich legte ich sofort los, und rechnete, und rechnete, ...

Falls jemand mitrechnet:
k=430 N/m, m=0,5 kg, Kraftstoß:=6 m/s, =0,0004 s, d.h. 7500 N
=0,15 m, =0 m/s, =0,151 m, =6 m/s

Zunächst eine Frage bzgl.
, mit

Wir setzen im weiteren Verlauf der Berechnung (Formel 3).
Die Amplitude von erreicht allerdings nicht . Dies wäre nur dann möglich, wenn die mögliche Auslenkung von und ein Phi existierte; denn bedingt durch den Cosinus verringert sich die Auslenkung , sobald die Zeit bei t=0 zu laufen beginnt. Der langen Rede kurzer Sinn: weder noch waren als Werte für die Amplitude von zielführend. Daran beiße ich noch.

Zum Thema Einsetzen in Formel 2: Vernachlässigt man das , ergibt sich eine normale Schwingungsgleichung ohne Wirkung eines Kraftststoßes. Also wurde es in den Berechnungsversuchen inkl. berücksichtigt. Aber das haut alles nicht hin. Deshalb zunächst nochmal die Frage bezüglich der Richtigkeit von.
Chander Auf diesen Beitrag antworten »
Skizze
Anbei eine Skizze. Einen Schönheitswettbewerb gewinnt sie nicht, aber prinzipieller Aufbau und Wirkrichtungen lassen sich hoffentlich erkennen.
Nach dem Anklicken wird sie in besserer Auflösung dargestellt.
Chander Auf diesen Beitrag antworten »

Bin echt am verzweifeln. Habe nun einen alternativen Ansatz über die Energieerhaltung.
Die Geschwindigkeit ist bekannt, und damit die kinetische Energie des Schwingers. Während sich die Masse gegen den Druck der Feder bewegt, nimmt die Feder die Bewegungsenergie auf. Daraus folgt die Amplitude C




bestimmt sich aus den Anfangsbedingungen. Die Zeit t der betrachteten Schwingung beginnt nach Übertragung des Kraftstoßes mit t=0, der Ausschlag x(0)=



Man erhält C=0,254 m und 0,636 (36°).

War das nun unsportlich? Sorry, aber beim Krafstoß hänge ich noch immer an Schritt 1:
 
 
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Zeit hat man einen Kraftstoß. Für alle anderen Zeiten ist die Differenzialgleichung homogen (also ohne rechte Seite).

Das Prinzip der Rechnung ist folgendes:

Für die Zeit vor dem Kraftstoß kann man die homogene Teillösung , welche beide Anfangsbedingungen erfüllt, sofort angeben. Für die Teillösung nach dem Stoß hat man dagegen keine Anfangsbedingungungen. Deshalb enthält die homogene Teillösung noch die 2 unbekannten Konstanten C und .

Nun muss man diese beiden Teillösungen an der Stelle , wo der Kraftstoß stattfindet, geeignet zusammen fügen. Dazu dienen die beiden Konstanten. Diese müssen so gewählt werden, dass folgende beiden Forderungen erfüllt sind:

(1) Die Teillösungen und müssen an der Stelle , wo der Kraftstoß stattfindet, stetig sein, denn der schwingende Körper kann nicht springen.

(2) An der Stelle , wo der Kraftstoß stattfindet, ändert sich ruckartig die Geschwindigkeit. Das bedeutet, die 1.Ableitung macht an der Stelle einen definierten Sprung, den ich berechnet habe.

Beide Forderungen führen auf ein Gleichungssystem für die Konstanten C und , das ich dir auch berechnet habe.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Chander
War das nun unsportlich? Sorry, aber beim Krafstoß hänge ich noch immer an Schritt 1:

Irgendwie wird mir dein Problem nicht klar. Weshalb berechnest du auf diese Weise? Und welches Problem hast du mit ? Deine Lösung passt ja näherungsweise.

Die Konstanten und der Bewegungsgleichung



kann man doch direkt aus den Anfangsbedingungen und bestimmen. Es ergibt sich mit ein paar mehr Dezimalen





Die Anpassung ist einfacher, wenn man die Bewegungsgleichung in der Form



verwendet.
Chander Auf diesen Beitrag antworten »

@ Huggy: Vielen Dank für's nachrechnen. Mein Problem: Beim Lösen des Gleichungssystems mache ich einen/mehrere Fehler.
@ Ehos: Herzlichen Dank! Wie immer!

Zitat:
Original von Ehos

Nach C aufgelöst:


anschließend hier
Zitat:
Original von Ehos

eingesetzt:





Es folgt für 1,571 bzw. 4,712 und somit bzw. . Irgendetwas mache ich hierbei nicht korrekt.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Die Anpassung der Bewegungsgleichung





an Anfangswerte





kann so erfolgen:

Einsetzen der Anfangswerte ergibt





Division ergibt





Danach ist die Bestimmung von simpel. Wie ich schon sagte, geht die Anpassung mit der Sinus-Kosinus-Form der Bewegungsgleichung einfacher.
Chander Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy





Vielen Dank für den Hinweis. Das kannte ich nicht.

Huggy, könntest Du bitte hier mal einen Blick drauf werfen? Dort das (jetzt) jüngste Post von mir.
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