Gewöhnliche Differentialgleichungen berechnen

04.07.2021, 17:04	Läwo	Auf diesen Beitrag antworten »
Gewöhnliche Differentialgleichungen berechnen Meine Frage: Hi leute, kann mir jemand sagen wie man diese Aufgaben löst (Siehe Bild) bzw kann mir jemand vlt mal die Aufgaben vorrechnen damit ich nen Plan habe wie ich da rangehen soll? Grüße! Meine Ideen: hab leider keinen eigenen Ansatz ..
05.07.2021, 11:48	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wollte gerade einige Hinweise zu den sechs Teilaufgaben zusammentragen als ich gesehen habe, dass die im wesentlichen doch schon im Kopf der Aufgabe zu finden sind! Hilfreich wäre es daher, wenn dir diese drei genannten Begriffe "Trennung der Variablen", "Variation der Konstanten" und "charakteristische Gleichung" nicht völlig unbekannt sind. Nur als Beispiel mal 2.: Dort nutzt man für die Umformung vorbereitend noch eine Potenzregel: $\begin{eqnarray} y' = e^{-y+t} = e^{-y}\cdot e^t\qquad \Big\|\;\cdot e^y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^y\cdot y' = e^t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^y\cdot dy = e^t\cdot dt \end{eqnarray}$ . Nun sind die Variablen getrennt: Links nur $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ , rechts nur $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ , jetzt kann integriert werden.
05.07.2021, 13:33	gast_free	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gewöhnliche Differentialgleichungen berechnen Vorrechenstunde? 1. $\begin{eqnarray} \frac{dy}{dt}=3t^2y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{dy}{y}=3t^2 dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int \frac{dy}{y}=\int 3t^2 dt + C \end{eqnarray}$ Der Rest für Dich. 2. $\begin{eqnarray} \frac{dy}{dt}=e^{-y+t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^y dy=e^t dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int e^y dy=\int e^t dt + C \end{eqnarray}$ Der Rest für Dich. 3. $\begin{eqnarray} \dot y - 3y=e^t \end{eqnarray}$ Homogen: $\begin{eqnarray} \frac{dy}{y}=3t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=Ke^{\frac{3}{2}t^2} \end{eqnarray}$ Variation der Konstante: $\begin{eqnarray} y=K(t)e^{\frac{3}{2}t^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \dot y=\dot K(t)e^{\frac{3}{2}t^2}+K(t)3e^{\frac{3}{2}t^2} \end{eqnarray}$ Eingesetzt in Dgl.: $\begin{eqnarray} \dot K(t)e^{\frac{3}{2}t^2}+3K(t)e^{\frac{3}{2}t^2}-3K(t)e^{\frac{3}{2}t^2}=e^t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \dot K(t)e^{\frac{3}{2}t^2}=e^t \end{eqnarray}$ Somit nach Auflösen: $\begin{eqnarray} \dot K(t)=e^{t-\frac{3}{2}t^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} K(t)=\int e^{t-\frac{3}{2}t^2} dt + C \end{eqnarray}$ Lösung: $\begin{eqnarray} y=\int [e^{t-\frac{3}{2}t^2} dt + C]e^{\frac{3}{2}t^2} \end{eqnarray}$ Pobe: $\begin{eqnarray} e^{t-\frac{3}{2}t^2} e^{\frac{3}{2}t^2}+[\int e^{t-\frac{3}{2}t^2} dt + C]\cdot 3te^{\frac{3}{2}t^2}-3\cdot [\int e^{t-\frac{3}{2}t^2} dt + C]e^{\frac{3}{2}t^2}=e^t \end{eqnarray}$ 4. (Gleiches Prinzip wie 3.) 5,6 $\begin{eqnarray} y=y_0 e^{\lambda t} \end{eqnarray}$ Differenzieren soweit erforderlich. Charakateristische Gleichung aufstellen. $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n a_k\lambda^k=K \end{eqnarray}$ Lambdas bestimmen. Einsetzen und die Konstanten (a_n) aus Randbedingungen ermitteln.

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