Lage des Schnittpunkts der Diagonalen eines Sehnenvierecks

05.07.2021, 14:24	N42Klein	Auf diesen Beitrag antworten »
Lage des Schnittpunkts der Diagonalen eines Sehnenvierecks Meine Frage: Es sei ABCD eine Sehnenviereck mit Umkreis k. Der Schnittpunkt von AB und CD sei P und die Tangenten von P an k seien E und F. Zeige, dass der Schnittpunkt der Diagonalen von ABCD stets auf der Strecke EF liegt. Meine Ideen: Vielleicht könnte man umgekehrt beim Punkt P anfangen und Geraden durch P und k einzeichnen. Dann müsste man "nur" zeigen, für zwei beliebige Geraden g und h mit Schnittpunkten G1 und G2, bzw. H1 und H2 (von P aus gesehen) der Schnittpunkt von G1H2 und G2H1 stets auf einer Geraden liegt. Dass diese Gerade die richtige ist, wird dann durch Betrachtung der Grenzfälle klar, wenn die Geraden zu Tangenten werden. Ich weiß allerdings nicht, ob das so wirklich zielführend ist und leider habe ich auch noch keine andere Idee. Ich freue mich über jede Hilfe und schon mal vielen Dank vorab!
06.07.2021, 09:56	Algebravo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich vermute mal die Berührpunkte der Tangenten an k durch P sind E und F, oder? In welchem Kontext wurde diese Aufgabe gestellt? In der Schule? Grüße, Connor
06.07.2021, 10:11	N42Klein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ganz genau, die Berührpunkte der Tangenten an k durch P sind E und F, zumindest würde ich es auch so verstehen. Die Aufgabe stammt aus einer Sammlung von Aufgaben, die bei Mathewettbewerben gestellt wurden (vor allem Olympiaden, auch aus anderen Ländern). Leider sind keine Lösungen dabei und es ist auch nicht angegeben, woher die Aufgabe stammt. Ich habe sie so nirgendwo gefunden, es wird wahrscheinlich eine Übersetzung sein. Wäre klasse, wenn ihr mir helfen könntet, ich komme wie gesagt nicht wirklich weiter.
06.07.2021, 14:31	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lage des Schnittpunkts der Diagonalen eines Sehnenvierecks Guten Tag, [attach]53290[/attach] Bewegt man die Punkte A oder D auf der Kreislinie, dann bewegt sich der Punkt P auf der Gerade BC. Dabei schneiden sich die Diagonalen AC und BD und die Verbindungsgerade EF immer in einem Punkt. Das war für mich der Ausgangspunkt für folgende Überlegung: ABCDEF sind ein Sechseck. Wenn man zeigen könnte (kann ich nicht mehr, das ist wirklich viel zu lange her, dass ich mich damit beschäftigt habe) , dass ABCDEF ein Tangentensechseck eines Kegelschnitts ist, dann handelt es sich bei dem gemeinsamen Schnittpunkt um den Brianchon`schen Punkt. Google mal nach Satz von Pascal und Brianchon. Leider kann ich dir nicht weiterhelfen. ....oder vielleicht doch: Das könnte dir vielleicht helfen: https://www.cip.ifi.lmu.de/~grinberg/Dreigeom/Brianchon.pdf

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