Vorhersage mit bedingter Normalverteilung?

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07.07.2021, 12:32	cool4	Auf diesen Beitrag antworten »
Vorhersage mit bedingter Normalverteilung? Meine Frage: Hello, wo braucht man die bedingte Gauß Verteilung? Ich lese oft, dass man damit vorhersagen treffen kann, aber wie? Meine Ideen: Wäre cool, wenn jemand antworten würde.
07.07.2021, 16:38	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau dir mal dieses Bild Realisierungen von Zufallsvariablen aus einem kürzlichen Thread zu einer zweidimensionalen Normalverteilung mit positiver Korrelation der beiden Komponenten an: Offenkundig sind die beiden Komponenten da nicht unabhängig, d.h., bei bekanntem Komponentenwert $\begin{eqnarray} X_2 \end{eqnarray}$ hat man ein (mit gewisser vorgegebener Irrtumswahrscheinlichkeit versehenes) Prognose-Intervall für den $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ -Wert, wobei die Lage dieses Prognoseintervalls von diesem gegebenen $\begin{eqnarray} X_2 \end{eqnarray}$ -Wert abhängt. Wie genau, das sagt deine Formel $\begin{eqnarray} X_1 \mid X_2 \sim \mathcal{N}\left(\mu_1 + \Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1} \left(X_2 - \mu_2\right), \Sigma_{11}-\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}\Sigma_{21}\right) \end{eqnarray}$ Das bedeutet: Auch die bedingte Verteilung der Komponente $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ bei gegebenem $\begin{eqnarray} X_2 \end{eqnarray}$ -Wert ist normalverteilt, und zwar mit Mittelwertvektor $\begin{eqnarray} \mu_{1\mid X_2} := \mu_1 + \Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1} \left(X_2 - \mu_2\right) \end{eqnarray}$ . Im oben verlinkten Plot haben wir den einfachen Fall, dass sowohl $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ als auch $\begin{eqnarray} X_2 \end{eqnarray}$ eindimensional sind, dieses $\begin{eqnarray} \mu_{1\mid X_2} := \mu_1 + \Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1} \left(X_2 - \mu_2\right) \end{eqnarray}$ als Funktion von $\begin{eqnarray} X_2 \end{eqnarray}$ wird da im Plot durch die gut erkennbare "Mittel-Gerade" repräsentiert. Die zugehörige Kovarianzmatrix dieser bedingten Normalverteilung hängt hier nicht vom $\begin{eqnarray} X_2 \end{eqnarray}$ -Wert ab, d.h., die ist da immer dieselbe - das ist spezifisch für dieses Normalverteilungsmodell und so i.d.R. nicht auf andere mehrdimensionale Verteilungen übertragbar.
07.07.2021, 19:15	Cool4	Auf diesen Beitrag antworten »
Thx für die Antwort. Ich habe mal was zu dem Bild gezeichnet „per Hand“. Das ist der Erwartungswert von der bedingten Verteilung oder? Die Varianz ist 0,36, wie kann ich das dazu zeichnen? Nach deinem Text befindet sich dann X1 in diesem Intervall, also wenn man X2 kennt oder?
07.07.2021, 19:19	Cool4	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Bild, wovon ich geschrieben habe.
07.07.2021, 19:45	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese bedingte Verteilung ist auch wieder nur eine Wahrscheinlichkeitsverteilung: D.h., dieses $\begin{eqnarray} \mu_{1\mid X_2} \end{eqnarray}$ ist nur der Erwartungswert für $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ bei beobachtetem $\begin{eqnarray} X_2 \end{eqnarray}$ - eine 100%-Sicherheit, dass $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ in diesem oder jenen Intervall dann liegt, gibt es hier nicht. Für jedes Intervall (i.d.R. um diesen Erwartungswert herum) kann man lediglich eine Wahrscheinlichkeit berechnen, dass $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ drin ist. Oder umgekehrt, kann man für eine vorgegebene Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} 1-\alpha \end{eqnarray}$ (das sogenannte "Konfidenzniveau") ein Prognoseintervall für $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ angeben. Mehr ist als "Prognose" nicht drin.
07.07.2021, 20:45	Cool4	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist aber cool. Darf ich den Erwartungswert von X1 bedingt X2 so einzeichnen? Oder muss ich ein festes X2 betrachten? „Für jedes Intervall (i.d.R. um diesen Erwartungswert herum) kann man lediglich eine Wahrscheinlichkeit berechnen, dass X1 drin ist.“ Wie kann ich diese Wahrscheinlichkeit berechnen? „Oder umgekehrt, kann man für eine vorgegebene Wahrscheinlichkeit 1−± (das sogenannte "Konfidenzniveau") ein Prognoseintervall für X1 angeben. Mehr ist als "Prognose" nicht drin.“ Ist das das selbe wie das Zitat von oben? Angenommen ich möchte ein Prognoseintetvall berechnen, und zwar zum Konfidenzniveau 95%, also beträgt alpha=5%. Wie kann ich nun weiter gehen?
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07.07.2021, 20:53	Cool4	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahsoo so wie auf dem Bild? z ist ja dann 95%, aber was ist n
08.07.2021, 10:53	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kramst jetzt Formeln hervor von Konfidenzintervallen des Mittelwerts basierend auf Stichproben vom Umfang $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ - völlig verfehlt, und überhaupt: Warum? Du hast hier doch eine Normalverteilung mit konkret bekannten beiden Parametern vorliegen, also rechne doch einfach damit, statt wild nach anderen Formeln zu suchen!!! Nun gut, alles nochmal ausführlicher (für eindimensionale $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X_2 \end{eqnarray}$ ) zusammengefasst: Normalverteilung $\begin{eqnarray} X_1 \mid (X_2=x_2) \sim \mathcal{N}\left(\mu,\sigma^2\right) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \mu := \mu_1 + \Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1} \left(x_2 - \mu_2\right) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sigma^2 := \Sigma_{11}-\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}\Sigma_{21}\qquad () \end{eqnarray}$ bedeutet folgende bedingte Verteilungsfunktion für $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} P\left(X_1\leq x_1 \mid X_2 = x_2\right) = \Phi\left( \frac{x_1-\mu}{\sigma}\right) \end{eqnarray}$ und für das symmetrische Prognoseintervall dann entsprechend $\begin{eqnarray} P\left( \mu - z_{1-\frac{\alpha}{2}}\sigma \leq X_1 \leq \mu + z_{1-\frac{\alpha}{2}}\sigma \mid X_2 = x_2 \right) = 1-\alpha \end{eqnarray}$ mit dem Standardnormalverteilungsquantil $\begin{eqnarray} z_{1-\frac{\alpha}{2}} \end{eqnarray}$ . D.h., unter der Bedingung $\begin{eqnarray} X_2=x_2 \end{eqnarray}$ liegt der Wert $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} 1-\alpha \end{eqnarray}$ in dem symmetrischen Prognoseintervall $\begin{eqnarray} \left[ \mu - z_{1-\frac{\alpha}{2}},\mu + z_{1-\frac{\alpha}{2}}\sigma\right] \end{eqnarray}$ , wobei die Parameter $\begin{eqnarray} \mu,\sigma \end{eqnarray}$ gemäß () zu berechnen sind. Wie man an () sieht, hängt $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ dabei linear von $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray*}$ ab, während \sigma davon unabhängig ist. P.S.: Jetzt sollte es aber langsam mal reichen, noch ausführlicher werde ich nicht.
12.07.2021, 16:08	haro21	Auf diesen Beitrag antworten »
Moin, ich habe das Gespräch hier mitverfolgt und zufälligerweise beschäftige ich mich gerade auch mit dem Thema. Vllt. hilft dir diese Grafik weiter (siehe Bild). Und vllt. noch ausführlicher: $\begin{eqnarray} P\left( -z_{1-\frac{\alpha}{2}}\leq \frac{ X_{1}-\mu}{\sigma} \leq z_{1-\frac{\alpha}{2}}\right) =\phi( z_{1-\frac{\alpha}{2}})-( 1-\phi( z_{1-\frac{\alpha}{2}})) = 1-\frac{\alpha}{2}-(1-(1-\frac{\alpha}{2}))=1-\alpha \end{eqnarray}$ . In Worten: $\begin{eqnarray} z_{1-\frac{\alpha}{2}} \end{eqnarray}$ ist das $\begin{eqnarray} 1-\frac{\alpha}{2} \end{eqnarray}$ -Quantil zu der Standardnormalverteilung: $\begin{eqnarray} \frac{X_{1}-\mu}{\sigma} \end{eqnarray}$ . Ich hoffe @Hal9000 kann mich bei diesen Berechnungen bestätigen (oder ein anderer). Nicht das ich bullsh** schreibe.
12.07.2021, 17:56	haro21	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternativ kann man das für ein festes y, wie folgt darstellen (z.B y=0) Oder? Stimmt doch so oder? Es reicht auch nur ein "Ja" oder "nein"

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