Kurvendiskussion f(x)=ln|x|-x

07.07.2021, 20:23	Mathenoob1255	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvendiskussion f(x)=ln\|x\|-x Meine Frage: Hallo, Ich soll eine vollständige Kurvendiskussion machen zu der Gleichung f(x)=ln\|x\|-x. Meine Ideen: Für die erste Ableitung habe ich f´(x)=1-1/x raus, aber ich weiß nicht, ob das so richtig ist. Und wie man den Rest berechnet habe ich auch keine Ahnung. Könnte mir das jemand erklären? Also wie man auf die Nullstellen, Extrempunkte, 2.Ableitung, Wendepunkte etc. kommt?
07.07.2021, 23:23	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ableitung stimmt nur fast. Schau Dir dafür noch einmal an, was die 1.Ableitung von g(x)=-x ist und vergleiche das mit deinem Ergebnis. Bzgl. der Nullstelle wirst Du nicht viel berechnen können, denn es gibt zwar eine, die aber nur mit einem Näherungsverfahren berechenbar ist. Der Rest geht nach dem bekannten Schema: Extremstellen können dort liegen, wo die erste ABleitung Null wird, Wendestellen dort, wo die zweite Null wird. Dazu das hinreichende Kriterium prüfen und schon hast Du deine Ergebnisse.
08.07.2021, 10:14	gast_free	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion f(x)=ln\|x\|-x Einfach mal die Kurve zeichnen. So kann man sich einen Überblick verschaffen bevor man rechnet. Zu beachten ist, dass bei x=0 die Funktion von beiden Seiten gegen minus Unendlich geht. Dies wird in der Graphik nicht deutlich dargestellt. $\begin{eqnarray} f(x)=ln(\|x\|)-x \end{eqnarray}$ Nullstelle. Iterativ (Newton). $\begin{eqnarray} x_{n+1}=x_n-\frac{f(x)}{f'(x)} \end{eqnarray}$ Startwert x0=-0,5. $\begin{eqnarray} x_1=-0,5-\frac{-0,2}{-3}=-0,5-0,07=-0,57 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2=-0,57-\frac{0,008}{-2,75}=-0,57-0,003=-0,573 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_3=-0,573-\frac{0,016}{-2,74}=-0,573+0,006=-0,567 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_4=-0,567-\frac{-0,0004}{-2,76}=-0,576-0,00014=-0,56714 \end{eqnarray}$ Näherungslösung Nullstelle. $\begin{eqnarray} x_0=-0,56714 \end{eqnarray}$ Extremwerte. $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{x}{\|x\|^2}-1 \end{eqnarray}$ Notwendige Bedingung. $\begin{eqnarray} \frac{x}{\|x\|^2}-1=0=>\|x\|^2=x=>x=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x)=\frac{\|x\|^2-\frac{2\cdot x^2}{\|x\|}}{\|x\|^4} \end{eqnarray}$ Hinreichende Bedingung. Was kommt dabei raus? Wo gibt es weitere Polstellen? Beweis (Ableitung von\|x\|). $\begin{eqnarray} f(x)=\|x\|=\sqrt{x^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)'=\frac{1}{2}\cdot \frac{2\cdot x}{\sqrt{x^2}}=\frac{x}{\|x\|} \end{eqnarray}$ Hieraus. $\begin{eqnarray} ln(\|x\|)'=\frac{1}{\|x\|}\cdot \frac{x}{\|x\|}=\frac{x}{\|x\|^2} \end{eqnarray}$

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