Lineares Optimierungsmodell

08.07.2021, 07:15

Marlis

Lineares Optimierungsmodell

Meine Frage:
Für die Archivierung der Akten aus der Buchführung sollen Aktenschränke angeschafft werden. Es stehen 3 Arten von Aktenschränken zur Verfügung, die sich durch ihre Grundfläche, die Anzahl der unterbringbaren Ordner und die Kosten unterscheiden: Folgende Aufstellung:
Schrank 1
2 (Grundfläche (m²))
150 (Anzahl Ordner)
350 (Kosten (?))

Schrank 2:
1,5 (Grundfläche (m²))
135 (Anzahl der Ordner)
290 (Kosten (?))

Schrank 3
2,3 (Grundfläche (m²))
250 (Anzahl der Ordner)
520 (Kosten (?))
Da Schrank 1 ein besonderes Sicherheitssystem hat, sollen davon mindestens 3 Stück bestellt werden. Die Grundfläche des Archivraums beträgt 30 m². Laut Vorschrift müssen aber mindestens 30 % des Raums für Wege zur Verfügung stehen. Für die Finanzierung der Aktenschränke dürfen bis zu 3.000 ? ausgegeben werden.

a) Die Bestellung soll so zusammengestellt werden, dass möglichst viele Aktenordner untergebracht werden können. Geben Sie das entsprechende LOP-Modell an (nicht rechnen).
Welche Bedeutung haben die Entscheidungsvariablen?

b) Wie ändert sich das Modell, wenn minimale Kosten entstehen sollen, wobei mindestens 1.600 Aktenordner untergebracht werden müssen.

c) Welche Bedingungen (als normale Nebenbedingung angeben) müssen im Modell berücksichtigt werden, wenn von den Schränken 2 mindestens so viele wie von Schrank 3 und von Schrank 1 höchstens doppelt so viele wie von Schrank 3 vorhanden sein müssen?

Meine Ideen:
Hallo Zusammen smile

Ich komme leider bei dieser Aufgabe so gar nicht weiter, da ich nicht weiß wie ich die Zielfunktion aufstellen soll und die Nebenbedingungen... Kann mir hier jemand helfen?

Dankeschön im Voraus.
LG Augenzwinkern

08.07.2021, 09:51

Huggy

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RE: Lineares Optimierungsmodell

Zitat:

Original von Marlis
Ich komme leider bei dieser Aufgabe so gar nicht weiter, da ich nicht weiß wie ich die Zielfunktion aufstellen soll und die Nebenbedingungen.

Du musst schon näher sagen, wo es bei dir klemmt. Beginnen wir mit a). Zielgröße, die zu maximieren ist, ist die Gesamtzahl $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ der Ordner, die man unterbringen kann. Die hängt von der Zahl der Schränke $\begin{eqnarray*} n_1,n_2,n_3 \end{eqnarray*}$ der 3 Schranktypen ab und deren Ordnerkapazität $\begin{eqnarray*} o_1,o_2,o_3 \end{eqnarray*}$ . Die Nebenbedingungen ergeben sich auch unmittelbar aus dem Aufgabentext.

08.07.2021, 14:46

Marlis

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RE: Lineares Optimierungsmodell
Vielen Dank für deine Antwort. Ich habe versucht die Gleichungen wie folgt aufzustellen. Habe ich hier was durcheinander gebracht?

Meine Idee zu Aufgabe a) - liege ich so richtig?:

Z(x): 150*x1 + 135*x2 + 250*x3 > MAX!

Restriktionen/Nebenbedingungen:

2*x1 + 1,5 *x2 + 2,3 *x3 kleiner gleich; 30-9
350*x1 + 290*x2 + 520*x3 kleiner gleich 3000
3*x1+x2+x3 kleiner gleich 30-9

Meine Idee zu Aufgabe b) - liege ich richtig?:

Z(x): 350*x1 + 290*x2 + 520*x3 > MIN!
150*x1 + 135*x2 + 250*x3 größer gleich 1600

Meine Idee zu Aufgabe c) liege ich richtig?:
x2 kleiner gleich x3 Normale Nebenbedingung: x2-x3 kleiner gleich 0

x1 größer gleich 2*x3 (* -1)
-x1 kleiner gleich -2x3 Normale Nebenbedingung: -x1+2*x3 kleiner gleich 0

Liebe Grüße
Marlis smile

08.07.2021, 16:06

Huggy

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RE: Lineares Optimierungsmodell

Zitat:

Original von Marlis
Meine Idee zu Aufgabe a) - liege ich so richtig?:

Z(x): 150*x1 + 135*x2 + 250*x3 > MAX!

i. 0.
Aber was soll das >-Zeichen?

Zitat:

Restriktionen/Nebenbedingungen:

2*x1 + 1,5 *x2 + 2,3 *x3 kleiner gleich; 30-9
350*x1 + 290*x2 + 520*x3 kleiner gleich 3000

i.O.

Zitat:

3*x1+x2+x3 kleiner gleich 30-9

???
Die Bedingung, dass man mindestens 3 Schränke vom Typ 1 braucht, lautet

$\begin{eqnarray*} x_1 \geq 3 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Meine Idee zu Aufgabe b) - liege ich richtig?:

Z(x): 350*x1 + 290*x2 + 520*x3 > MIN!
150*x1 + 135*x2 + 250*x3 größer gleich 1600

i.O.
Die Bedingungen bezüglich maximaler Grundfläche und minimaler Stückzahl vom Typ 1 bleiben bestehen.

Zitat:

Meine Idee zu Aufgabe c) liege ich richtig?:
x2 kleiner gleich x3 Normale Nebenbedingung: x2-x3 kleiner gleich 0

Nein. Hast du Probleme im Verständnis von mindestens und höchstens? Richtig ist

$\begin{eqnarray*} x_2 \geq x_3 \quad x_3-x_2 \leq 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

x1 größer gleich 2*x3 (* -1)
-x1 kleiner gleich -2x3 Normale Nebenbedingung: -x1+2*x3 kleiner gleich 0

Nein.

$\begin{eqnarray*} x_1 \leq 2 x_3 \quad x_1-2x_3 \leq 0 \end{eqnarray*}$

08.07.2021, 16:42

hawe

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HM,
vielleicht sollte man auch bedenken, dass Aktenschränke nur im Ganzen angeschafft werden können?
Nach dem keine Rechnung gefordert ist, ist das ja schnell mal hingeschrieben ;-)...

09.07.2021, 11:27

Marlis

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Vielen Dank fürs korrigieren. Dann lieg ich doch nicht so falsch. smile

09.07.2021, 12:42

hawe

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Interessehalber
Branch & Bound Path to Integer (wxMaxima)

NB:[2*x1+1.5*x2+2.3*x3<=21,350*x1+290*x2+520*x3<=3000];

maximize_lp(150*x1+135*x2+250*x3,append(NB,
[x1>=3])
), nonegative_lp=true, numer;
>[1387.5,[x3=3.75,x2=0,x1=3]]

maximize_lp(150*x1+135*x2+250*x3,append(NB,
[x1>=3,
x3 <=3])
), nonegative_lp=true, numer;
>[1381.551724137931,[x3=3,x2=1.344827586206897,x1=3.0]]

maximize_lp(150*x1+135*x2+250*x3,append(NB,
[x1>=3,
x3 <=3,
x2 <=1])
), nonegative_lp=true, numer;
maximize_lp(150*x1+135*x2+250*x3,append(NB,
[x1>=3,
x3 <=3,
x2 >=2])
), nonegative_lp=true, numer;
>[1377.857142857143,[x3=3,x2=1,x1=3.285714285714285]]
>[1378.653846153846,[x3=2.634615384615385,x2=2.0,x1=3.0]]

maximize_lp(150*x1+135*x2+250*x3,append(NB,
[x1>=3,x1<=3,
x3 <=2,
x2 >=2,x2<=3])
), nonegative_lp=true, numer;
[1355,[x3=2,x2=3,x1=3]]

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