Regel von de L’Hospital

08.07.2021, 08:59

Ulrich Ruhnau

Regel von de L’Hospital

In dem einem Youtube-Beitrag wird

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! \left(\ln \frac 1t\right)^n \dd t =n! \end{eqnarray*}$ gezeigt. Bei der partiellen Integration fällt

$\begin{eqnarray*} \left.t\left(\ln \frac 1t\right)^{k+1}\right|_0^1=0 \end{eqnarray*}$

an, was mit der Regel von de L’Hospital gezeigt werden könnte. Hat jemand eine Idee, wie die Regel anzuwenden ist?

08.07.2021, 09:37

Huggy

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RE: Regel von de L’Hospital
Zunächst kann man (muss man nicht) vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} \ln \frac 1 t =-\ln t \end{eqnarray*}$

Dann schreibt man für l'Hospital um

$\begin{eqnarray*} t \ln t =\frac {\ln t}{\frac 1 t} \end{eqnarray*}$

Das Schema funktioniert ganz allgemein:

$\begin{eqnarray*} 0 \cdot \infty \ \hat = \ \frac \infty {\frac 1 0} \ \hat = \ \frac \infty \infty \end{eqnarray*}$

Oder auch:

$\begin{eqnarray*} 0 \cdot \infty \ \hat = \ \frac 0 {\frac 1 \infty} \ \hat = \ \frac 0 0 \end{eqnarray*}$

08.07.2021, 10:06

HaddiV

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RE: Regel von de L’Hospital
Hallo,

es geht hier um Grenzwerte (Limites). Man nimmt die Regel von L'Hospital, wenn man einen Bruch von der Form mit den Grenzwerten $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \ \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ zu betrachten hat (hier liegt das Problem ja bei der 0).
Die Regel besagt dann, dass man die Funktion im Zähler ableiten darf (ohne Berücksichtigung der Quotientenregel!); und ebenso die Funktion im Nenner. Die "neuen" Funktionen schreibt man dann wieder in den Zähler bzw Nenner. Danach betrachtet man den neuen Bruch; evtl muß man diesen "Ableitungs-Schritt" auch wiederholen.
In Umgangssprache: "Wenn du einen Bruch von der Form mit den Grenzwerten $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \ \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ hast, kannst du auch den Bruch betrachten, in dem die Grenzwerte der Ableitungen im Zähler bzw Nenner stehen."

In deinem Fall muss man den Faktor $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ vor der Klammer noch "geschickt umformen" zu $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{1}{t}} \ \end{eqnarray*}$ .

Dann hat man also umgeformt
$\begin{eqnarray*} \left.\frac{1}{\frac{1}{t}}\left(\ln \frac 1t\right)^{k+1}\right|_0^1=0 \end{eqnarray*}$

was also von der Form $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ ist.

Jetzt kannst du die Zähler- bzw Nennerfunktion ableiten und erneut den Grenzwert gegen 0 betrachten.
Mit Huggys erster Vereinfachung komme ich auf den neuen Bruch
$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{-1}{t}}{\frac{-1}{t^{2}}} \end{eqnarray*}$ , der nach Kürzen einfach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ist; und dessen Grenzwert gegen 0 ist natürlich 0.

08.07.2021, 14:28

Iorek

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RE: Regel von de L’Hospital
Und für die Leute, die gerne ohne L'Hospital arbeiten, wenn es sich vermeiden lässt:

Zitat:

Original von Huggy
Zunächst kann man (muss man nicht) vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} \ln \frac 1 t =-\ln t \end{eqnarray*}$

Dann schreibt man ~~für l'Hospital~~ um [...]

$\begin{eqnarray*} t \ln t \end{eqnarray*}$

[...] und kann ganz allgemein und ohne L'Hospital zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{t\downarrow 0} t^\alpha\ln(t)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \alpha>0 \end{eqnarray*}$ ist. smile

08.07.2021, 23:42

Ulrich Ruhnau

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RE: Regel von de L’Hospital

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
$\begin{eqnarray*} \left.t\left(\ln \frac 1t\right)^{k+1}\right|_0^1=0 \end{eqnarray*}$

Also dann mal los.

$\begin{eqnarray*} \left.t\left(\ln \frac 1t\right)^{k+1}\right|_0^1=0-\lim_{t \to 0} t\left(\ln\frac 1t\right)^{k+1}=\lim_{t \to 0} t(\ln t)^{k+1}=\lim_{t \to 0} \frac {(\ln t)^{k+1}}{\frac 1t}=\lim_{t \to 0} \frac{(k+1)(\ln t)^kt^{-1}}{-t^{-2}} \end{eqnarray*}$

So richtig gelöst kommt mir das Problem noch nicht vor.

09.07.2021, 07:33

Huggy

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RE: Regel von de L’Hospital
Den Exponenten kann man durch wiederholte Anwendung von l'Hospital verschwinden lassen, d. h. man zeigt durch vollständige Induktion, dass der Grenzwert Null für alle $\begin{eqnarray*} k\geq0 \end{eqnarray*}$ gilt.

09.07.2021, 09:18

IfindU

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RE: Regel von de L’Hospital
Etwas schneller:

Man zeigt mit L'Hospital, dass $\begin{eqnarray*} f_m(t) := t^{1/m} \ln \frac 1 t \to 0 \end{eqnarray*}$ gilt für alle $\begin{eqnarray*} m > 0 \end{eqnarray*}$ wie Iorek vorgeschlagen hat. Damit gilt auch $\begin{eqnarray*} f_{k+1}^{k+1}(t) = t \left ( \ln \frac 1 t \right)^{k+1} \to 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k \geq 0 \end{eqnarray*}$ .

09.07.2021, 12:25

Ulrich Ruhnau

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RE: Regel von de L’Hospital

Zitat:

Original von IfindU
Etwas schneller:

$\begin{eqnarray*} f_m(t) := t^{1/m} \ln \frac 1 t \to 0 \end{eqnarray*}$

Also nach Huggy:

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} t(\ln t)^{k+1}=\lim_{t \to 0} \frac {(\ln t)^{k+1}}{\frac 1t}=\lim_{t \to 0} \frac{(k+1)(\ln t)^kt^{-1}}{-t^{-2}}=-(k+1)\lim_{t \to 0}t (\ln t)^k \end{eqnarray*}$

und nach IfindU:

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} f_m(t) = -\lim_{t \to 0} \frac{\ln t}{t^{-\frac 1m}} = -\lim_{t \to 0} \frac{\frac 1t}{-\frac 1m t^{-\frac 1m-1}} = m\lim_{t \to 0} t^{\frac 1m}=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} m>0 \end{eqnarray*}$

09.07.2021, 12:34

HAL 9000

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Was den Grenzwert betrifft, den kann man auch mit der Reihenentwicklung der Exponentialfunktion begründen: Substituion $\begin{eqnarray*} x=-\ln(t) \end{eqnarray*}$ d.h. $\begin{eqnarray*} t=e^{-x} \end{eqnarray*}$ ergibt

$\begin{eqnarray*} \lim_{t\searrow 0} t^a\ln\left(\frac{1}{t}\right) = \lim_{x\to\infty} xe^{-ax} \end{eqnarray*}$

Nun gilt für $\begin{eqnarray*} a>0,x>0 \end{eqnarray*}$ die Abschätzung

$\begin{eqnarray*} xe^{-ax} = \frac{x}{e^{ax}} < \frac{x}{1+ax + \frac{1}{2}a^2x^2} < \frac{x}{\frac{1}{2}a^2x^2} = \frac{2}{a^2x} \to 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$ .

10.07.2021, 22:27

Ulrich Ruhnau

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Der Weg von HAL ist mal wieder der eleganteste. Freude

Vielen Dank Euch allen! Augenzwinkern

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