Funktionsgleichung für Summe

10.07.2021, 11:25	Friedlon	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionsgleichung für Summe Meine Frage: Ein Problem aus dem wirklichen Leben (d.h. es wäre möglich, dass es keine Lösung gibt): $\begin{eqnarray} s_{n,1} = \frac{\left(n+1\right) \cdot \left(n+2\right)}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> s_{n,m+1} = s_{1,m} + \sum_{j=1}^{n} \left( j+1 \right) \cdot s_{j,m}<br /> \end{eqnarray}$ Kann man $\begin{eqnarray} s_{n,m} \end{eqnarray}$ explizit angeben? Meine Ideen: Ich bin kein Mathematiker und daher erstmal zu Fuß marschiert; habe die ersten paar Summen ausgeschrieben und Wolfram gefragt. Es gibt Polynome, die die einzelnen Summen beschreiben, deren Grad schnell ansteigt. Ich konnte aber keine Regelmäßigkeit sehen, die mich auf einen allgemeinen Ausdruck kommen lassen würde. Gibt es wohl ein den Experten bekanntes geschickteres Vorgehen?
10.07.2021, 12:17	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, leider alles etwas "unrund": Wenn die Rekursion beispielsweise stattdessen $\begin{eqnarray} s_{n,m+1} = s_{1,m} + \sum_{j=1}^n \left( j+1 \right) \cdot s_{j+1,m} = \sum_{j=1}^{n+1} j\cdot s_{j,m} \end{eqnarray}$ wäre, dann bekäme man $\begin{eqnarray} s_{n,2} = \frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n+1} j(j+1)(j+2) = \frac{1}{8} (n+1)(n+2)(n+3)(n+4) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s_{n,3} = \frac{1}{8}\sum_{j=1}^{n+1} j(j+1)(j+2)(j+3)(j+4) = \frac{1}{48} (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6) \end{eqnarray}$ usw. Leider klappt das mit deiner Rekursion nicht so schön einfach.
10.07.2021, 12:51	Friedlon	Auf diesen Beitrag antworten »
Oha, die angegebene Möglichkeit erscheint mir so attraktiv, dass ich mich sehr bemühen werde, in meiner Herleitung der Rekursion einen Fehler zu finden :-) Vielen Dank!

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