Koordinatengleichung einer Ebene mit zwei Punkten

11.07.2021, 22:26

61bibo 61

Koordinatengleichung einer Ebene mit zwei Punkten

Meine Frage:
Gegeben sind zwei Punkte A (3/1/2) und B (1,5/5/3) welche in der Ebene E liegen. Die Ebene E ist zur x2-Achse parallel. Nun muss ich die Koordinatengleichung dieser Ebene ermitteln. Wie mach ich das?

Meine Ideen:
Meine einziger Gedankenzug wäre zweimal den gleichen Richtungsvektor (AB) zu benutzen. Das führt jedoch zu keinem richtigen Ergebnis. Ich bitte um Hilfe.

11.07.2021, 23:15

Helferlein

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Einen Stütz- und einen Richtungsvektor der Ebene hast Du durch die beiden Punkte.
Was fehlt ist die zweite Richtung und die ergibt sich aus der Parallelität zur x2-Achse.

11.07.2021, 23:22

61bibo 61

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Verzeihen Sie bitte meine “dummen” Fragen. Meines Erachtens nach bedeutet parallel mit der Achse =0. Jedoch geht das nicht auf. Wie komm ich denn jetzt auf den zweiten Richtungsvektor?
Ich bitte vielmals um Erläuterung und Entschuldige mich für die Unannehmlichkeiten.

12.07.2021, 00:30

Helferlein

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Mir ist nicht klar, was Du mit =0 meinst.

Nehmen wir doch mal ein paar Beispiele für Ebenen, die parallel zur x2-Achse verlaufen:
$\begin{eqnarray*} E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 0\\2\\0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1\\-3\\5 \end{pmatrix} \quad \quad F:\vec{x}=\begin{pmatrix} 7\\-2\\10 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 8\\1\\-10 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G:\vec{x}=\begin{pmatrix} 10\\-\pi\\\ln 2 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} -4\\2\\13 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 0\\ \sqrt 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Fällt jetzt der Groschen? Siehst Du die Gemeinsamkeit der drei Ebenen?

12.07.2021, 07:59

61bibo 61

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Ich sehe, dass bei dem zweiten Richtungsvektor welcher parallel zur x2-Achse verläuft die x1 und x3 Werte Null sind. Jedoch weiß ich nicht, wie ich bei meinem Beispiel die x2 Komponente finde. Kann ich dafür einfach irgendein Vielfaches von meinem AB Richtungsvektor nehmen?

12.07.2021, 08:49

61ibo 61

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Ich hab’s…. ICH HAB’S JUHUUUUUU
Ich bedanke mich für Ihre Mühen nuns wünsche Ihnen noch einen angenehmen Tag!

12.07.2021, 14:08

Helferlein

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Nur zur Sicherheit: Welche Lösung hast Du jetzt raus?

14.07.2021, 16:04

61ibo 61

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RE: Koordinatengleichung einer Ebene mit zwei Punkten
$\begin{eqnarray*} \vec R=\vec A-\vec B=\begin{pmatrix} a_x-b_x \\ a_y-b_y \\ a_z-b_z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec R=\vec R_x+\vec R_y+\vec R_z=\begin{pmatrix} a_x-b_x \\ 0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ a_y-b_y \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ a_z-b_z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E(\lambda,\mu)=\begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix}+\lambda\cdot \begin{pmatrix} 0\\ a_y-b_y \\ 0 \end{pmatrix}+\mu\cdot \begin{pmatrix} a_x-b_x \\ 0\\ a_z-b_z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

14.07.2021, 20:32

Helferlein

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RE: Koordinatengleichung einer Ebene mit zwei Punkten
Nicht ganz das, was ich als Lösung erwartet hätte, aber durchaus richtig.

Meine Lösung wäre $\begin{eqnarray*} E(\lambda,\mu)=\begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix}+\lambda\cdot \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\mu\cdot \begin{pmatrix} b_x-a_x \\ b_y-a_y\\ b_z-a_z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Stütz- und zweiter Richtungsvektor sorgen dafür, dass die Punkte A und B in der Ebene liegen, der erste Richtungsvektor sichert die Parallelität zur $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ -Achse.

15.07.2021, 23:21

klauss

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RE: Koordinatengleichung einer Ebene mit zwei Punkten
Ich möchte die Parameterform vermeiden.
Wegen

Zitat:

Original von 61bibo 61
Die Ebene E ist zur x2-Achse parallel.

lautet die Koordinatengleichung
$\begin{eqnarray*} E:n_{1}x_{1}+n_{3}x_{3}-d=0 \end{eqnarray*}$

Mit den beiden Punkten eingesetzt:
I) $\begin{eqnarray*} 3n_{1}+2n_{3}-d=0 \end{eqnarray*}$
II) $\begin{eqnarray*} 1,5n_{1}+3n_{3}-d=0 \end{eqnarray*}$
_________________________
I) - II) $\begin{eqnarray*} 1,5n_{1}-n_{3}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 1,5n_{1}=n_{3} \end{eqnarray*}$ , somit

$\begin{eqnarray*} \vec{n}=\begin{pmatrix} n_{1} \\ 0 \\ 1,5n_{1} \end{pmatrix} =\lambda\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1,5 \end{pmatrix} =\hat{\lambda}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Koordinatengleichung nunmehr:
$\begin{eqnarray*} E:2x_{1}+3x_{3}-d=0 \end{eqnarray*}$

Wenn man die beiden Punkte jetzt nochmal einsetzt, erhält man auch ein übereinstimmendes $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ .

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