Differentialgleichung, richtigen Lösungsansatz wählen

15.07.2021, 18:02	Mathman91	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung, richtigen Lösungsansatz wählen Hallo, ich habe folgende Differentialgleichung: $\begin{eqnarray} \ddot{x}-2\dot{x}+x=e^{2t} \end{eqnarray}$ Nun habe ich in meiner Formelsammlung zwei Ansätze: Ansatz 1: $\begin{eqnarray} ae^{bt} \end{eqnarray}$ Ansatz 2: $\begin{eqnarray} ate^{bt} \end{eqnarray*}$ Wie weiß ich, welchen Ansatz ich wählen muss? SG
15.07.2021, 18:29	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du nimmst den, der funktioniert. Und wenn keiner funktioniert, probierst du es anders.
15.07.2021, 18:31	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst ja zunächst die charakteristische Gleichung lösen. Es liegt dann eben an den Lösungen und deren Vielfachheit. Ein Stichwort dafür ist Resonanz. Siehe dort auf Seite 2: http://micbaum.y0w.de/uploads/Loesungsan...iterOrdnung.pdf Es fehlt eigentlich noch ein Ansatz 3. Für $\begin{eqnarray} \ddot{x}-4\dot{x}+4x=e^{2t} \end{eqnarray}$ wäre kein Ansatz von dir zielführend um die partikuläre Lösung zu bestimmen.
16.07.2021, 12:09	gast_free	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung, richtigen Lösungsansatz wählen Nicht in Formelsammlungen gucken sondern einfach selber rechnen. $\begin{eqnarray} \ddot x+a \dot x + b x =e^{k t} \end{eqnarray}$ Homogene Lösung: Ansatz. $\begin{eqnarray} x_h=x_0 e^{\lambda t} \end{eqnarray}$ Ableitungen. $\begin{eqnarray} \dot x_h=\lambda x_0 e^{\lambda t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ddot x_h=\lambda^2 x_0 e^{\lambda t} \end{eqnarray}$ Einsetzen und kürzen. $\begin{eqnarray} \lambda^2+\lambda a + b=0 \end{eqnarray}$ Quadr. Gl. auflösen. $\begin{eqnarray} (\lambda+\frac{a}{2})^2-\frac{a^2}{4}+b=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (\lambda+\frac{a}{2})=\frac{a^2}{4}-b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda_1=-\frac{a}{2}+\sqrt{\frac{a^2}{4}-b} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda_2=-\frac{a}{2}-\sqrt{\frac{a^2}{4}-b} \end{eqnarray}$ Homogene Lösung. $\begin{eqnarray} x_h(t)=x_1 e^{\lambda_1 t}+x_2 e^{\lambda_2 t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_h(t)=x_0=x_1+X_2 \end{eqnarray}$ Partikuläre Lösung: Ansatz. $\begin{eqnarray} x_p=A e^{k t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \dot x_p=k A e^{k t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ddot x_p=k^2 A e^{k t} \end{eqnarray}$ Einsetzen. $\begin{eqnarray} k^2 A e^{k t}+a k A e^{k t}+b A e^{k t}=e^{k t} \end{eqnarray}$ Kürzen. $\begin{eqnarray} k^2 A+k a A +b A =1 \end{eqnarray}$ Koeffizzientenvergleich. $\begin{eqnarray} A=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a A=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b A=1 => A=\frac{1}{b} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_p(t)=\frac{1}{b} e^{k t} \end{eqnarray}$ Gesamtlösung: $\begin{eqnarray} x(t)=x_h(t)+x_p(t) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x(t)=x_1 e^{\lambda_1 t}+x_2 e^{\lambda_2 t}+\frac{1}{b} e^{k t} \end{eqnarray}$ Mit Zahlen: $\begin{eqnarray} a=-2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda_1=\lambda_2=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x(t)=x_0 e^t+e^{2 t} \end{eqnarray}$ Realitätscheck! $\begin{eqnarray} \dot x(t)=x_0 e^t+2 e^{2 t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ddot x(t)=x_0 e^t+4 e^{2 t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_0 e^t+4 e^{2 t}-2(x_0 e^t+2 e^{2 t})+x_0 e^t+e^{2 t}=e^{2 t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_0 e^t+4 e^{2 t}-2 x_0 e^t-4 e^{2 t}+x_0 e^t+e^{2 t}=e^{2 t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_0 e^t-2 x_0 e^t+x_0 e^t+e^{2 t}=e^{2 t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2x_0 e^t-2 x_0 e^t+e^{2 t}=e^{2 t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^{2 t}=e^{2 t} \end{eqnarray}$ Anmerkung: Für die partikuläre Lösung immer einen Ansatz wählen, der der Störfunktion ähnelt. Die zugehörigen Parameter dann über differenzieren, einsetzen und Koeffizientenvergleich ermitteln.
21.07.2021, 18:45	Mathman91	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Hilfe.

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