Transformation von kartesischen zu Kugelkoordinaten und zurück

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xEinST3iNx Auf diesen Beitrag antworten »
Transformation von kartesischen zu Kugelkoordinaten und zurück
Liebes Forum,
ich benötig euere Hilfe bei der Rücktransformation der partiellen Ableitungen von Kugel- zu Kartesischen Koordinaten.

Dieses Thema kam bei mir bereits am Anfang des Semesters in theoretischer Physik auf, wobei hierzu die Formel: verwendet wurde.

Mit dieser Formel klappt die Transformation hin zu: (1)

Die Rücktransformation mittels der selbigen Formel ergibt: (2)

Dieses Ergebnis müsste soweit ich das nachprüfen konnte auch stimmen.

Möchte ich die ganze Transformation allerdings mittels der Jacobi- Matrix durchführen und verwende dafür die Gleichung: (3)

erhalte ich für die Hintransformation das selbe Ergebnis wie unter (1). Die Rücktransformation ergibt allerdings nicht das Selbe sondern: (4)

Klammer ich die zusätzlichen Therme aus und dividiere diese auf die andere Seite, sodass sich der Nabla- Operator zu ergibt, und setze dieses Ergebnis anschließend in (1) ein erhalte ich das selbe Ergebnis wie unter (2).

Nun stellt sich mir die Frage ob das so korrekt ist, und die Gleichung aus meinem Skript einfach nur diesen letzten Schritt des Einsetzens überspringt oder ob ich hier etwas falsch mache.
Zusätzlich ergibt sich aus der Transformation, dass der Vektor: den Einheitsvektor in Richtung von x bildet. Allerdings müsste dieser doch: lauten was aber ja nicht das selbe ist. Zusätzlich wenn ich den Einheitsvektor in Richtung x aus der inversen Jacobi- Matrix bestimme erhalte ich weder das eine noch das andere:

Nun stellt sich mir die Frage ob ich hier ein Grundlegendes Verständnisproblem habe oder ob ich einfach nur den Wald vor lauter Bäumen nicht sehe.

Ich hoffe ihr könnt mir weiter helfen.
Vielen Dank im Voraus und liebe Grüße
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