Beweis irrationale und rationale Zahl

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Harry Hirsch Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis irrationale und rationale Zahl
Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich wollte Euch fragen, ob folgender Beweisversuch zur Rationalität und Irrationalität von Zahlen überhaupt ein Beweis ist oder ob ich einen Denkfehler gemacht habe. Ich habe lange über diesen Beweisversuch nachgedacht und kann keinen Fehler finden, aber er kommt mir so kurz vor, daß ich befürchte, er ist falsch. Könntet Ihr mir bitte sagen, wo mein Denkfehler ist?
Vielen Dank!

Meine Ideen:
Behauptung:
Die Quadratwurzel aus jeder Nicht-Quadratzahl N ist irrational

Indirekter Beweis:

N = beliebige Nicht-Quadratzahl (z.B. 2, 3, 5...)
R = beliebige rationale Zahl

Es wird vom Gegenteil der Behauptung ausgegangen, also davon, daß die Quadratwurzel aus N rational ist. Das führt zu einem Widerspruch, so daß die Behauptung bewiesen ist:

Wurzel N = R
Gleichung quadrieren
N = R^2
Da N aber eine Nicht-Quadratzahl sein soll und R^2 immer eine Quadratzahl ist, stellt diese Gleichung einen Widerspruch dar.
Also ist die Quadratwurzel aus N keine rationale Zahl und somit irrational.
Der "Beweis" wäre hiermit schon fertig und kommt mir sehr kurz vor. Irgendetwas ist bestimmt faul an ihm.
Ich finde aber keinen Denkfehler.
Habt Ihr einen Tipp für mich?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Moin, ja, das funktioniert so nicht. Da R keine ganze Zahl ist, ist R^2 nicht zwangsläufig eine Quadratzahl. Zum Beispiel ist das Quadrat von 7/9 sicher keine Quadratzahl, nur die Quadrate ganzer Zahlen bezeichnet man als Quadratzahlen.

Dein Beweis zeigt also nur, dass R keine ganze Zahl sein kann. Du müsstest jetzt also noch zeigen, dass R auch keine nicht ganze Zahl sein kann. Nimm dafür zum Beispiel an, dass R vollständig gekürzt ist und überlege, ob R^2 eine ganze Zahl sein kann, wenn R es nicht ist.
TNT Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Guppi12,

vielen Dank für Deine Antwort, da hast Du mir sehr geholfen Freude

Dann war ein Denkfehler von mir schon einmal, daß ich dachte, daß auch Brüche wie z.B. 1/4 und 1/9 usw. zu den Quadratzahlen gehören Hammer

Viele Grüße Wink
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Du könntest auch diesen alternativen Begriff von Quadratzahl zugrundelegen, d.h. du bezeichnest alles als Quadratzahl, was das Quadrat einer rationalen Zahl ist. In diesem Fall ist es tatsächlich so einfach, wie du es aufgeschrieben hast, zu zeigen, dass Wurzeln aus Nicht-Quadratzahlen irrational sind.

Jetzt hast du aber ein anderes Problem: Du musst begründen, warum (z.B.) 2 nach deiner Definition keine Quadratzahl ist. An der Stelle, wo du das behauptest, scheinst du die gewöhnliche Definition von Quadratzahl zu verwenden, mit der das trivial ist. Mit deiner Definition ist das nicht trivial und läuft tatsächlich auf genau den gleichen Beweis hinaus, den man mit der gewöhnlichen Definition führen würde, um zu zeigen, dass die Wurzel aus 2 irrational ist.
TNT Auf diesen Beitrag antworten »

Super, 1000 Dank für Deine sehr ausführliche Hilfe Freude Freude Freude
Ich wünsche Dir einen guten Start in die neue Woche Wink
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