Kurvendiskussion

19.07.2021, 00:42

Andreas1976

Kurvendiskussion

Folgende Kurvendiskussion möchte ich lösen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{-1,5x+2}{x^{2}-6x+9} \end{eqnarray*}$

Mein Lösungsvorschlag:
Berechnung Nullstelle Zähler

$\begin{eqnarray*} -1,5x+2=0 |-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -1,5x=-2 |: (-1,5) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=1,3 \end{eqnarray*}$

Berechnung Nullstelle Nenner

$\begin{eqnarray*} x^{2}-6x+9=0 |-9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2}-6x=-9 |q.E(\frac{6}{2})^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x-3)^{2}=-9+(\frac{6}{2})^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-3=0 |+3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=3 \end{eqnarray*}$
Definitionslücke liegt somit bei 3

Abschnitt Achse

$\begin{eqnarray*} f(0)=\frac{-1,5*(0)+2}{(0)^{2}-6*(0)+9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,222 \end{eqnarray*}$

Abschnitt liegt bei 0 | 0,222

Achsensymmetrie

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{-1,5x+2}{(-x)^{2}-6x+9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(-x)=\frac{-1,5(-x)+2}{(-x)^{2}-6(-x)+9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(-x)=\frac{1,5+2}{x^{2}+6x+9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)\neq f(-x) \end{eqnarray*}$

Keine Symmetrie vorhanden da nicht gleich

Punktsymmetrie

$\begin{eqnarray*} f(-x)=\frac{1,5x+2}{x^{2}+6x+9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -f(x)=\frac{-(-1,5x+2)}{x^{2}+6x+9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(-x)\neq -f(x) \end{eqnarray*}$

Keine Punktesymmetrie vorhanden da nicht gleich

Menge Definition

$\begin{eqnarray*} D=\mathbb R \left\{ 3\right\} \end{eqnarray*}$

Ableitungen

$\begin{eqnarray*} f(-x)=\frac{1,5x+2}{x^{2}+6x+9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(-x)=\frac{1,5x+2}{(x-3)^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u1=-1,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=-1,5x+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v1=2(x-3)*1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v=(x-3)^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f1(x)=\frac{-1,5(x-3)-(-1,5x+2)2*(x-3)*1}{(x-3)^{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f1(x)=\frac{-1,5x+4,5 xxx 3x-4}{(x-3)^{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f1(x)=\frac{1,5x+0,5}{(x-3)^{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1,5x+0,5=0 |-0,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1,5x=-0,5 | :1,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=0,333 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(-0,333)=\frac{-1,5*(-0,333)+2}{((-0,3)-3)^{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0,225 \end{eqnarray*}$

Extrempunkt (-0,333|0,225)

$\begin{eqnarray*} x<-0,333<0<3<x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} +0-0- \end{eqnarray*}$

Hochpunkt (-0,333|0,225)

2. Ableitung

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1,5x+0,5}{(x-3)^{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1,5*(x-3)^{3}-(1,5x+0,5)*3*(x-3)^{2}*1}{(x-3)^{6}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1,5-4,5-4,5x-1,5}{(x-3)^{4}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{-3x-6}{(x-3)^{4}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -3x-6=0 | + 6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -3x=6 | : (-3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(-2)=\frac{-1,5*(-2)+2}{((-2)-3)^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x<-2<0<3<x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} +0-0- \end{eqnarray*}$

Verhalten unendlich

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} f(x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +\infty} f(x)=0 \end{eqnarray*}$

19.07.2021, 08:47

Equester

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Guten Morgen,

wenn du das schon so ausführlich hast (sehr cool Freude

) kannst du das mit einem Rechner überprüfen. Schau mal hier:
https://matheguru.com/rechner/kurvendiskussion

Die Nullstelle ist "richtig". Allerdings würde ich mindestens 1,33 angeben, wenn nicht sogar die Periode. Am besten (für meinen Geschmack zumindest) wäre das als Bruch anzugeben: x = 4/3

Die Definition ist vermutlich richtig gemeint...aber Latex hat dein ein \ verschlampt.

Sonst sieht alles top aus Freude

19.07.2021, 09:24

Bürgi

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RE: Kurvendiskussion
Guten Morgen,

Deine Ergebnisse sehen gut aus - aber:

1. Bei der 1. Ableitung fehlt ein ² (Das ist ein Tippfehler, denn Du hast anschließend mit den richtigen Werten weitergerechnet)

2. Bei der Berechnung der Extremstelle hast Du ein Minuszeichen vergessen, was aber im weiteren Verlauf Deiner Rechnungen korrigiert wurde.

Auf alle Fälle: Kompliment, dass Du Dir die Mühe gemacht hast, lesbaren Text zu verfassen.

19.07.2021, 11:03

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Equester
Schau mal hier:
...

Du kannst aber auch gerne bei uns bleiben: Augenzwinkern

https://www.mathetools.de/funkana/

Viele Grüße
Steffen

19.07.2021, 11:42

Moonshine

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Ja, die Darstellung ist wirklich mustergültig smile

Die Frage ist tatsächlich, welcher Grad an Exaktheit erwartet wird. Die 1,3 würde ich jetzt als Fehler anstreichen, da bin ich pingelig - wenn eine Zahl als Bruch darstellbar ist, dann ist runden für mich nicht akzeptabel. Zumal alle gängigen Taschenrechner Dezimaldarstellungen in Brüche umwandeln können.

Auch beim Verhalten im Unendlichen könnte es sein, dass noch eine Begründung bzw. eine Rechnung erwartet wird.

Noch ein Tipp zum Nenner. Die quadratische Ergänzung ist unnötig, wenn man das zweite Binom erkennt: $\begin{eqnarray*} x^2-6x+9=(x-3)^2 \end{eqnarray*}$ .

19.07.2021, 18:57

Andreas1976

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Erstmal vielen Dank für die netten Worte!
Mir ist Lesbarkeit sehr wichtig. Ich saß zwar eine gute Stunde an dem Text dran - aber die Mühe hat sich gelohnt! :-)

@Equester:
Also soll ich bei Nullstelle Zähler quasi x=1,33~ bzw. 4/3 nehmen?

@Bürgi:
An welcher Stelle fehlen denn das ² und das -. Ich habe gerade gesucht und sehe es einfach nicht.

@Moonshine:
Hast du für mich einen Tipp was ich beim Verhalten im Unendlichen nehmen könnte?

19.07.2021, 19:56

Equester

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Hat sich gelohnt Freude

.

Genau, ich würde $\begin{eqnarray*} x = 1,\bar3 \end{eqnarray*}$ schreiben oder $\begin{eqnarray*} x = \frac43 \end{eqnarray*}$ .
In Zwischenrechnungen wird "immer" die Bruchschreibweise verwendet, beim Endergebnis ist es Geschmackssache.

19.07.2021, 21:57

Moonshine

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Zitat:

Original von Andreas1976
@Moonshine:
Hast du für mich einen Tipp was ich beim Verhalten im Unendlichen nehmen könnte?

Eine Möglichkeit wäre, in Zähler und Nenner $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ auszuklammern, zu kürzen und danach die verbleibenden Terme zu betrachten. Die andere Möglichkeit wäre die Regel von de L‘Hospital.

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