Taylorpolynom mit mehreren Variablen

19.07.2021, 09:49

matzemathik995

Taylorpolynom mit mehreren Variablen

Meine Frage:
Hallo liebes Forum,

ich habe eine Frage zur Taylorentwicklung 4. Ordnung der Funktion f(x,y)=ln(x^2+(y-1)^3+1) am Punkt (0,1)

Mir ist klar, wenn ich ich am Punkt (0,0) entwickle, dass ich die Reihe von ln(x+1)anwenden kann, jedoch nicht zum Punkt (0,1)

Meine Ideen:
Mein Ansatz wäre folgender zum Punkt (0,1) mittels:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{inf} (-1)^{k-1} *\frac{1}{k} * (x-1)^{2} +((y-1)-1)^3+1)^k \end{eqnarray*}$

Als Ergebnis bekomme ich dann: T zu (0,1) von Ordnung 4 f(x,y) = x^2+(y-2)^3.

Vielen Dank für s Überprüfen smile

19.07.2021, 13:53

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Taylorpolynom mit mehreren Variablen

Zitat:

Original von matzemathik995
Als Ergebnis bekomme ich dann: T zu (0,1) von Ordnung 4 f(x,y) = x^2+(y-2)^3.

Das passt schon rein formal nicht. Da um $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ entwickelt werden soll, können in der Reihe nur Potenzen von $\begin{eqnarray*} (y-1) \end{eqnarray*}$ auftauchen, nicht aber solche von $\begin{eqnarray*} (y-2) \end{eqnarray*}$ . Bezüglich $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ reicht auch die Ordnung der Entwicklung nicht.

Am einfachsten scheint es, zunächst die Substitution

$\begin{eqnarray*} u=x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v=(y-1)^3 \end{eqnarray*}$

zu machen, dann $\begin{eqnarray*} \ln (1+u+v) \end{eqnarray*}$ um den Punkt $\begin{eqnarray*} (u_0,v_0)=(0,0) \end{eqnarray*}$ zu entwickeln und dann zurück zu substituieren. Bei $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ muss man dabei nur bis $\begin{eqnarray*} u^2 \end{eqnarray*}$ gehen und bei $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ reicht schon der lineare Term. Gemischte Terme muss man gar nicht betrachten, da schon der niedrigste gemischte Term $\begin{eqnarray*} uv=x^2(y-1)^3 \end{eqnarray*}$ zur Ordnung 5 gehört.

Neue Frage »

Antworten »

Taylorpolynom mit mehreren Variablen

Verwandte Themen