Reibschwinger mit linear zunehmender Reibung

19.07.2021, 15:05

Chander

Reibschwinger mit linear zunehmender Reibung

Es geht um die Bewegungsgleichung eines horizontalen Feder-Masse-Schwingers. Ganz im Speziellen geht es um die Geschwindigkeit.
Anbei eine Skizze. Die Masse m bildet den Schwinger. Sie wird von einer Druckfeder k angetrieben, Federkonstante k. Bei t=0 ist die Feder $\begin{eqnarray*} x_A \end{eqnarray*}$ Meter vorgespannt, die Geschwindigkeit der Masse betrage $\begin{eqnarray*} v_A \end{eqnarray*}$ = -1 m/s. Die Bewegung der Masse ist reibungsbehaftet, Reibzahl $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ .

Ein Druckbolzen lastet auf einer Schrägfläche der Masse m. Die Feder c des Bolzens hat die Federkonstante c; sie ist auf die Länge $\begin{eqnarray*} l_A \end{eqnarray*}$ vorgespannt. Die Massen von Feder und Druckbolzen seien vernachlässigbar. Es besteht Reibung an der Gleitfläche zu m, gleiches $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ wie oben. Der Einfluss auf die Reibung hervorgerufen durch den Druck des Bolzens, wodurch die Masse m stärker auf den Untergrund gedrückt wird, sei vernachlässigbar.
Bei t=0 berührt der Druckbolzen die Schrägfläche und wird folglich nach oben ausgesteuert.

Die Reibkraft der Masse m auf dem Untergrund ist
$\begin{eqnarray*} F_{Rm} = \mu m g \end{eqnarray*}$

Jetzt wird die durch den Bolzen verursachte Reibkraft in x-Richtung ermittelt, als Funktion der Auslenkung x des Federschwingers:
$\begin{eqnarray*} F_{RBx}= \mu \cos(\alpha) ^{2} F_{B} \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} F_{B}= c \: [l_{0} -l_{A} + \tan(\alpha) (x_{A}-x) ] \end{eqnarray*}$
wird
$\begin{eqnarray*} F_{RBx}= \mu c \cos(\alpha) ^{2} [l_{0} -l_{A} + \tan(\alpha) (x_{A}-x) ] \end{eqnarray*}$

Das schreiben wir um in
$\begin{eqnarray*} F_{RBx}= \beta_{1} - \beta_{2} \: x \end{eqnarray*}$
wobei
$\begin{eqnarray*} \beta_{1} = \mu c \cos(\alpha) ^{2} \left[ l_{0} -l_{A} + \tan(\alpha) \: x_{A} \right] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \beta_{2} = \mu c \cos(\alpha) ^{2} \tan(\alpha) \: x \end{eqnarray*}$

Die Differentialgleichung für die Bewegung des Schwingers in Wirkrichtung der Druckfeder k:
$\begin{eqnarray*} m \ddot x= - kx + F_{Rm} + F_{RBx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m \ddot x= - kx + F_{Rm} + \beta_{1} - \beta_{2} x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ddot x + \frac{k+ \beta_{2} }{m} x = \frac{F_{Rm}+ \beta_{1} }{m} \end{eqnarray*}$

Die Bewegungsgleichung lautet
$\begin{eqnarray*} x(t)= (x_{A}- \frac{f_{R}}{\omega^{2}} ) \cos(\omega t)+ \frac{v_{A} }{\omega} \sin(\omega t) + \frac{f_{R}}{\omega^{2}} \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} f_{R}= \frac{F_{Rm}+ \beta_{1} }{m} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \omega= \sqrt{\frac{k+ \beta_{2} }{m} } \end{eqnarray*}$

Falls es jemand mit Leben füllen möchte:
m = 0,5 kg, $\begin{eqnarray*} v_A \end{eqnarray*}$ = -1 m/s, $\begin{eqnarray*} x_A \end{eqnarray*}$ = 0,16 m, $\begin{eqnarray*} x_{Ende} \end{eqnarray*}$ = 0,15 m, k = 500 N/m, c = 400 N/m, $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ = 0,15, $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ = 20°

Kann mir jemand sagen, wo der Fehler ist? Es sollte doch korrekt sein, die Reibwirkung des Bolzens in die Komponenten $\begin{eqnarray*} \beta_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta_{2} \end{eqnarray*}$ zu unterteilen - in einen ersten Teil, von Auslenkung x unabhängig, und einen zweiten als Funktion von x? Aber womöglich lenkt mich genau dieses Detail vom tatsächlichen Fehler ab...

19.07.2021, 22:09

Chander

Reibschwinger mit linear zunehmender Reibung

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