Affine Geraden

19.07.2021, 22:26

Taschenrechner548

Affine Geraden

Meine Frage:
Kann mir jemand anschaulich erklären, was genau die Menge aller affinen Geraden ist? Bzw wie ich mir so eine affine Gerade vorstellen kann?

Meine Ideen:
-

20.07.2021, 09:00

Leopold

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Könntest du den Kontext deiner Frage benennen? Ich würde jedenfalls unter einer affinen Geraden eine sich in einem affinen Raum aufhaltende Gerade verstehen, also genau das, was du dir schon immer unter einer Geraden vorgestellt hast.

Im affinen Raum sind alle Punkte gleichberechtigt. Er hat keine "Mitte" oder ausgezeichnete Richtungen, wie sie durch ein Koordinatensystem vorgegeben werden. Lediglich der Zusammenhang zwischen Punkten wird durch Vektoren beschrieben.

1. Zu zwei Punkten $\begin{align*} P,Q \end{align*}$ gibt es einen eindeutig bestimmten Vektor $\begin{align*} \overrightarrow{PQ} \end{align*}$ .

2. Zu einem Punkt $\begin{align*} P \end{align*}$ und einem Vektor $\begin{align*} \vec{q} \end{align*}$ gibt es einen eindeutig bestimmten Punkt $\begin{align*} Q \end{align*}$ , so daß $\begin{align*} \overrightarrow{PQ} = \vec{q} \end{align*}$ gilt.

3. Dabei gilt für alle Punkte $\begin{align*} P,Q,R \end{align*}$ die Regel von Chasles:
$\begin{align*} \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{PR} \end{align*}$

Sind nun zwei verschiedene Punkte $\begin{align*} P,Q \end{align*}$ gegeben, so ist die durch $\begin{align*} P,Q \end{align*}$ bestimmte Gerade $\begin{align*} g=PQ \end{align*}$ die Menge aller Punkte $\begin{align*} X \end{align*}$ , für die ein Skalar $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ existiert, so daß

$\begin{align*} \overrightarrow{PX} = \lambda \, \overrightarrow{PQ} \end{align*}$

gilt. Beim konkreten Rechnen wird man jedoch immer irgendwie auf ein Koordinatensystem zurückgreifen. Gerade die Regel 2. erlaubt es, durch Auszeichnung eines Punktes $\begin{align*} O \end{align*}$ jeden Punkt $\begin{align*} X \end{align*}$ über $\begin{align*} \overrightarrow{OX} = \vec{x} \end{align*}$ eineindeutig mit einem Vektor $\begin{align*} \vec{x} \end{align*}$ zusammenzubringen ( $\begin{align*} \vec{x} \end{align*}$ nennt man den Ortsvektor von $\begin{align*} X \end{align*}$ ). Aus diesem Grunde identifiziert man oft auch von vorneherein Punkte und Vektoren. Ontologisch sind es dann dieselben Objekte, sie spielen aber unterschiedliche Rollen, einmal die eines Punktes und einmal die eines Vektors.

20.07.2021, 20:39

Luftikus

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RE: Affine Geraden

Zitat:

Original von Taschenrechner548
Meine Frage:
Kann mir jemand anschaulich erklären, was genau die Menge aller affinen Geraden ist? Bzw wie ich mir so eine affine Gerade vorstellen kann?

Meine Ideen:
-

Wohl eine Gerade, die nicht durch den Nullpunkt geht (gehen muss).
Letzeres wäre ja in der Algebra dann ein Untervektorraum, mit der affinen Geraden aber eben dann ein "affiner Unterraum". Der Begriff der "affinen Geraden" ist so algebraisch konnotiert.

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