Wendepunkt der Normalverteilung und die Standardabweichung

20.07.2021, 16:27	h/d	Auf diesen Beitrag antworten »
Wendepunkt der Normalverteilung und die Standardabweichung Meine Frage: Hallo, Zunächst einmal die (vermeintlichen?)Fakten, die mich auf die Frage gebracht haben. 1) Die Normalverteilung besitzt Wendestellen symmetrisch eine Standardabweichung entfernt vom Erwartungswert. Die Nullstellen der zweiten Ableitung der Wahrscheinlichkeitsdichte werden also Erwartungswert plus bzw. minus Standardabweichung sein. 2) Die Standardabweichung kann als Wurzel aus dem Mittelwert der quadratischen Abweichungen vom Mittelwert berechnet werden. Für stetige Zufallsgrößen dann über ein Integral. Ich frage mich nun, wie der Zusammenhang dieser zwei verschiedenen Formeln zur Berechnung der Standardabweichung ist. Denn zum einen ergibt sich die Standardabweichung bis auf eine additive Konstante (den Erwartungswert) als Wendestelle der Gaußglocke (für mein laienhaftes Verständnis pure Analysis) und zum anderen als Ergebnis der Berechnung der mittleren Abweichung normalverteilter Zufallsgrößen (Wahrscheinlichkeitstheorie). Kann jemand vielleicht den Zusammenhang mathematisch aufzeigen bzw. mich für dumm erklären Vielen Dank schonmal!! Meine Ideen: Ich habe trotz ausführlicher Recherche keine wirklichen Ansätze zur Beantwortung finden können. Sogar diese Frage konnte ich nirgendwo wiederfinden...
20.07.2021, 16:43	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wendepunkt der Normalverteilung und die Standardabweichung Willkommen im Matheboard! Der von Dir angesprochene Zusammenhang ist im Grunde der zentrale Grenzwertsatz. Wie Du im Link siehst, ist der Beweis nicht unbedingt trivial. Viele Grüße Steffen
20.07.2021, 17:25	h/d	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die schnelle Antwort! Und vielen Dank für das Verstehen der Frage bzw. das Bestätigen, dass es sich überhaupt um eine berechtigte Frage handelt. Meist erntete ich dies
20.07.2021, 20:32	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es sei $\begin{align} \varphi(t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \operatorname{e}^{- \frac{1}{2}t^2} \end{align}$ die Dichte der Standardnormalverteilung. Ein paar Vorbereitungen: Bekanntermaßen ist $\begin{align} \int_{- \infty}^{\infty} \varphi(t) ~ \dd t \ = \ 1 \end{align}$ Durch Differenzieren findet man sofort die Differentialgleichung $\begin{align} \varphi'(t) = -t \cdot \varphi(t) \end{align}$ Diese wird bei der Berechnung des folgenden Integrals mittels partieller Integration verwendet: $\begin{align} \int_{- \infty}^{\infty} t^2 \varphi(t) ~ \dd t \ = \ - \int_{- \infty}^{\infty} t \cdot \varphi'(t) ~ \dd t \ = \ \underbrace{\left. - t \cdot \varphi(t) \right\|_{- \infty}^{\ \infty}}_{=0} + \int_{- \infty}^{\infty} \varphi(t) ~ \dd t \ = \ 1 \end{align}$ Mit diesen Vorbereitungen folgt der Rest jetzt leicht. Es sei $\begin{align} \varphi_{\mu,\sigma}(x) = \frac{1}{\sigma} \cdot \varphi \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right) \end{align}$ Hierin sind $\begin{align} \mu \in \mathbb{R} \end{align}$ und $\begin{align} \sigma > 0 \end{align}$ reelle Parameter. Sie haben zunächst nicht die Bedeutung Erwartungswert und Standardabweichung. Sei nun die Zufallsgröße $\begin{align} X \end{align}$ mit den Parametern $\begin{align} \mu, \sigma \end{align}$ normalverteilt. Mit der Substitution $\begin{align} x = \mu + \sigma t \end{align}$ berechnen wir: $\begin{align} \mathcal{E}(X) = \frac{1}{\sigma} \int_{- \infty}^{\infty} x \cdot \varphi \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right) ~ \dd x \ = \ \int_{- \infty}^{\infty} \left( \mu + \sigma t \right) \varphi(t) ~ \dd t \ = \ \mu \underbrace{\int_{- \infty}^{\infty} \varphi(t) ~ \dd t}_{= 1} \ + \ \sigma \underbrace{\int_{- \infty}^{\infty} t \cdot \varphi(t) ~ \dd t}_{=0} \ = \ \mu \end{align}$ (Das zweite Integral verschwindet wegen der Ungeradheit des Integranden.) $\begin{align} \mu \end{align}$ , bisher einfach nur ein Parameter, stellt sich so als Erwartungswert von $\begin{align} X \end{align}$ heraus. Jetzt das Entsprechende mit der Varianz: $\begin{align} \operatorname{Var}(X) = \mathcal{E} \left( \left( X - \mu \right)^2 \right) \ = \ \frac{1}{\sigma } \int_{- \infty}^{\infty} (x-\mu)^2 \cdot \varphi \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right) ~ \dd x \ = \ \sigma^2 \underbrace{\int_{- \infty}^{\infty} t^2 \varphi(t) ~ \dd t}_{=1} \ = \ \sigma^2 \end{align}$ Und somit hat sich $\begin{align} \sigma \end{align}$ , bisher nur ein Parameter, als die Standardabweichung ergeben. Das war jetzt ein Beweis "zu Fuß". Experten der Wahrscheinlichkeitsrechnung können so etwas mit ihren Zauberformeln vielleicht noch schneller herleiten.
20.07.2021, 20:56	h/d	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank Leopold! Ich konnte den Beweis nachvollziehen. Aus der Richtung hatte ich es nicht ansatzweise betrachtet. Danke für die ausführliche Beweisführung.

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