Anfangswertproblem mit Laplace-Transformation

Neue Frage »

20.07.2021, 17:07	dumbass123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem mit Laplace Transformation Hallo, ich habe folgende Aufgabe: Lösen Sie das Anfangswertproblem: y''-5y'-36y=4 y(0) = 1 y'(0)=0 Soweit habe ich das: $\begin{eqnarray} s^{2} \cdot Y(s)- sy(0)- y'(0) - 5(sY(s)- y(0)) -36Y(s)= \frac{4}{s} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s^{2} \cdot Y(s) - s- 0- 5(sY(s)-1)- 36Y(s)= \frac{4}{s} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Y(s) \cdot (s^{2}- 5s- 36) - s- 1 = \frac{4}{s} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Y(s) \cdot (s^{2}- 5s- 36) = \frac{4}{s} + s+ 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Y(s) \cdot (s^{2}- 5s- 36) = \frac{4+ s^{2} + s }{s} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Y(s)= \frac{4+ s^{2}+ s }{s \cdot (s^{2}-5s-36) } \end{eqnarray}$ Wenn das soweit richtig ist wollte ich die Rücktransformation so durchführen wie im Anhang. Nur weiß ich grad nicht wie ich das auf meins übertragen kann. Würde mich über Hilfe freuen Zwei Beiträge zusammengefasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen
20.07.2021, 17:15	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem mit Laplace Transformation Eventuell fehlt Dir ja nur $\begin{eqnarray} s^{2}- 5s- 36 = (s+4) \cdot (s-9) \end{eqnarray}$ Viele Grüße Steffen
20.07.2021, 17:30	dumbass123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem mit Laplace Transformation Hast du ein speziellen Trick wie man das so schnell heraus findet oder bist du einfach geübt ?
20.07.2021, 17:32	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem mit Laplace Transformation Die Nullstellen einer quadratischen Gleichung bekommt man z.B. mit der pq-Formel...
20.07.2021, 18:32	Moonshine	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine kleine Ergänzung: Einen "Trick" gibt es tatsächlich, nennt sich "gezieltes Raten" oder "systematisches Raten" (eigentlich eine Anwendung des Satzes von Vieta). Dabei wird das Ausmultiplizieren von zwei Klammern nach dem Distributivgesetz rückgängig gemacht. Funktioniert in deinem Fall so: Schreibe zwei Klammern auf und setze jeweils s ein. $\begin{eqnarray} (s\hspace{1cm})(s\hspace{1cm}) \end{eqnarray}$ Bestimme durch Probieren die fehlenden Summanden so, dass ihr Produkt das Absolutglied und ihre Summe den Koeffizienten von s ergibt, also hier: $\begin{eqnarray} -9\cdot 4 = -36 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -9+4=-5 \end{eqnarray}$ Damit also: $\begin{eqnarray} (s+4)(s-9) \end{eqnarray}$ Das geht natürlich nur dann einfach, wenn die Lösungen ganzzahlig sind. Dann ist es, wenn man die Übung hat, aber deutlich schneller als die Lösungsformeln oder eine quadratische Ergänzung
20.07.2021, 18:34	dumbass123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem mit Laplace Transformation $\begin{eqnarray} Ys= \frac{4+s^{2}+ s }{s \cdot ((s+4) \cdot (s-9))} = \frac{A}{(s+4)} + \frac{B}{(s-9)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4+ s^{2} + s = A\cdot(s \cdot (s-9)) + B \cdot (s \dot(s+4)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} für s = 9 \Rightarrow 90 =117B \Rightarrow B = \frac{10}{13}<br /> <br /> für s =-4 \Rightarrow 16 = 52A \Rightarrow A = \frac{4}{13} <br /> <br /> Y(s) = \frac{4}{13} \cdot \frac{1}{(s+4)} + \frac{10}{13} \cdot\frac{1}{(s-9)} \end{eqnarray}$ Ist das richtig? .-.
Anzeige

21.07.2021, 15:03	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem mit Laplace Transformation Ich bin bei Laplace mittlerweile etwas raus, aber ich fürchte, Du musst oben noch ein $\begin{eqnarray} \dots + \frac Cs \end{eqnarray}$ spendieren.
21.07.2021, 16:20	Papuga	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, es hat sich in den ersten Zeilen ein Fehler eingeschlichen. Korrekt müsste es in der zweiten Zeile deines ersten Beitrags lauten: $\begin{eqnarray} Y(s) [s^2-5s-26]=\frac{4}{s}+s-5 \end{eqnarray}$ Unter der Annahme, dass die 4 auf der rechten Seite das vierfache der Heavysidefunktion bedeutet und nicht das vierfache eines Dirac-Impulses
21.07.2021, 16:41	Papuga	Auf diesen Beitrag antworten »
Und die Lösung ist: $\begin{eqnarray} y(t)=\frac{10}{13}e^{-4t}+\frac{40}{117}e^{9t}-\frac{1}{9} \end{eqnarray}$
21.07.2021, 17:20	dumbass123	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay das verstehe ich jetzt überhaupt nicht. Woher kommt "+s-5" hinter dem gleichzeichen? und warum wurde aus den 36 jetzt 26 .-.
21.07.2021, 17:29	Papuga	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry, die 26 soll natürlich 36 heißen, da habe Ich mich vertippt. Das "s" hattest du ja schon, aber dahinter stand bei dir eine "1". Wenn man korrekt ausmultipliziert wird aus der "1" aber eine "-5". Siehe linke Seite: [attach]53375[/attach] und wenn man das auf die andere Seite packt wird daraus eben eine "-5"
21.07.2021, 17:36	dumbass123	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh man du hast recht.. danke ich rechne das nochmal und schau ob ich das gleicher heraus bekomme wie du. Vielen Dank
21.07.2021, 18:08	dumbass123	Auf diesen Beitrag antworten »
Weißt du was ich hier falsch mache?
21.07.2021, 18:17	Papuga	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo In den ersten Zeilen ist wieder ein Vorzeichenfehler: [attach]53377[/attach] Außerdem stimmt deine Partialbruchzerlegung nicht, denn es muss 3 Terme geben (3 Pole). $\begin{eqnarray} Y(s)=\frac{s^2-5s+4}{s(s^2-5s-36)} = \frac{A}{s+4} + \frac{B}{s-9} + \frac{C}{s} \end{eqnarray}$ hoffe das hilft dir weiter
21.07.2021, 18:41	dumbass123	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht ganz so wie du... Wie hast du auch die Umformungen mit e gemacht
21.07.2021, 19:24	Papuga	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, stimmt alles. Du kannst dein A noch kürzen: 40/52 = 10/13 Dann noch zurücktransformieren in den Zeitbereich mit den Korrespondenzen der Laplace-Transformation und du kommst auf die obige Lösung von y(t). Benötigte Korrespondenzen: $\begin{eqnarray} \frac{1}{s+a} \rightarrow e^{-at} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{s} \rightarrow \sigma(t) \end{eqnarray}$ Wobei $\begin{eqnarray} \sigma(t) \end{eqnarray}$ die Heavisidefunktion (Einheitssprung) ist (=const 1 für t>=0)
21.07.2021, 19:28	dumbass123	Auf diesen Beitrag antworten »
Genial vielen vielen Dank!!

Neue Frage »

Antworten »

Anfangswertproblem mit Laplace-Transformation

Verwandte Themen