Kann aus einer nicht-ganzen Zahl durch Quadrieren eine ganze Zahl werden?

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Toll-Patsch Auf diesen Beitrag antworten »
Kann aus einer nicht-ganzen Zahl durch Quadrieren eine ganze Zahl werden?
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich wurde gefragt, ob (a/b)^2 eine ganze Zahl sein kann, wenn a/b keine ganze Zahl ist.
Meiner Meinung nach kann aus einer nicht-ganzen Zahl a/b (z.B. 2/3)durch Quadrieren (und sogar allgemeiner: Durch Potenzieren) nie eine ganze Zahl werden.
Könntet Ihr mir bitte sagen, ob meine unten stehende Begründung richtig ist oder ob ich einen Denkfehler gemacht habe?
Vielen Dank im Voraus!



Meine Ideen:
Der Bruch a/b ist nur dann eine ganze Zahl z, wenn a ein ganzzahlig Vielfaches von b ist:

a/b = z
mit a, b und z Elemente der ganzen Zahlen

Daraus folgt: a = z*b

Die Gleichung a = z*b bedeutet, daß der Faktor b ganzzahlig in a enthalten ist. Somit müssen auch alle Primfaktoren von b (b1, b2, b3...) in a enthalten sein
Fehlt also im Zähler a nur ein einziger Primfaktor des Nenners b, dann kann a kein ganzzahlig Vielfaches von b sein und dann kann a/b keine ganze Zahl sein.
Diese Aussage wird unten wieder benötigt.

Der Zähler a und der Nenner b werden nun in ihre Primfaktoren (a1, a2... bzw. b1, b2...) zerlegt:

a = a1*a2*a3...
b = b1*b2*b3...

Der Bruch lautet jetzt:

a/b = (a1*a2*a3...) / (b1*b2*b3...)

a/b wird vollständig gekürzt, so daß im Zähler und Nenner keine gemeinsamen Faktoren mehr vorkommen.
Wenn z.B. der Primfaktor a1 im Zähler gleich dem Primfaktor b1 im Nenner ist, wird dieser weggekürzt und der Bruch a/b lautet nun:

a/b = (a2*a3...) / (b2*b3...)

Nach dem Kürzen stehen im Zähler und Nenner keine gleichen Primfaktoren mehr.
Durch das Quadrieren (oder allgemeiner: Durch das Potenzieren) wird die Anzahl der jeweiligen Primfaktoren in Zähler und Nenner zwar verdoppelt (oder allgemeiner: Beim Potenzieren mit dem Exponenten n wird die Anzahl der jeweiligen Primfaktoren ver-n-facht), aber die Primfaktoren selbst bleiben gleich (nämlich a2, a3... im Zähler und b2, b3... im Nenner):

(a/b)^2 = (a2*a2 * a3*a3...) / (b2*b2 * b3*b3...)

Jetzt wird die Aussage von oben benötigt:
"Fehlt im Zähler a nur ein einziger Primfaktor des Nenners b, dann kann a kein ganzzahlig Vielfaches von b sein und dann kann a/b keine ganze Zahl sein."

In dem Term
(a/b)^2 = (a2*a2 * a3*a3...) / (b2*b2 * b3*b3...)
steht im Zähler a kein einziger Primfaktor des Nenners b, alle Primfaktoren im Zähler unterscheiden sich von den Primfaktoren des Nenners.
Deshalb kann a^2 kein ganzzahlig Vielfaches von b^2 sein und somit kann auch (a/b)^2 keine ganze Zahl sein.
Ist das ein gültiger Beweis?

Viele Grüße
Papuga Auf diesen Beitrag antworten »

Definiere a und b näher. Sollen a und b ganze Zahlen sein? Wenn nicht dann kann
eine ganze Zahl sein. Beispiel:





TNT Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Papuga,

ja, a und b sollen ganze Zahlen sein, so daß a/b eine rationale Zahl ist.

Viele Grüße
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Moin,

der Beweis ist in Ordnung.
TNT Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schön!
Moin, moin,

super, danke schön für Deine Antwort smile

Viele Grüße Wink
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ein alternativer Beweis (in Form eines indirekten Beweises):

    O.B.d.A. sei vollständig gekürzt, d.h., Zähler und der positive Nenner sind dann teilerfremd. Aus mit einer ebenfalls ganzen Zahl folgt nun

    .

    Die Annahme bedeutet, dass einen Primteiler besitzen muss, mithin gilt und somit wegen (*) auch , was wiederum zur Folge hat. Das ist aber ein Widerspruch zur Teilerfremdheit von und . Somit war die Annahme falsch, es folgt , d.h., ist eine ganze Zahl.
 
 
TNT Auf diesen Beitrag antworten »
Nachfrage
Hallo HAL 9000,

vielen Dank für Deinen alternativen Beweis smile
Leider bin ich noch ein absoluter Mathe-Anfänger, deshalb verstehe ich den alternativen Beweis noch nicht.
Da muß ich noch viel üben Hammer
Deshalb wollte ich zur Sicherheit noch einmal nachfragen:
Führt der alternative Beweis zum selben Ergebnis wie "mein" Beweis, nämlich daß
(a/b)^2 keine ganze Zahl sein kann, wenn a/b keine ganze Zahl ist?
Oder führt der alternative Beweis zum gegenteiligen Ergebnis und "mein" Beweis ist falsch?

Viele Grüße Wink
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab von "alternativem Beweis" gesprochen - NICHT von "alternativer Behauptung". Es geht natürlich um deine Original-Behauptung.

Eigentlich ziemlich enttäuschend, dass ich das erwähnen muss - aber dass mein Beweis so unverständlich ist, muss ich jetzt einfach schlucken. Also vergiss ihn.
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