Beweis Zwischenmengensatz

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23.07.2021, 11:45	KCntr	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Zwischenmengensatz Meine Frage: Hallo zusammen, es geht mir um einen Beweis des Zwischenmengensatzes: Seien $\begin{eqnarray} M, N, N' \end{eqnarray}$ Mengen mit $\begin{eqnarray} N \subseteq N' \subseteq M \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|N\| = \|M\| \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \|.\| \end{eqnarray}$ die Mächtigkeit einer Menge bezeichnet. Dann gilt $\begin{eqnarray} \|N\|=\|M\|=\|N'\| \end{eqnarray}$ . Äquivalent kann man beweisen, dass für drei paarweise disjunkte Mengen $\begin{eqnarray} A, B, C \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} \|A \cup B \cup C\| = \|A\| \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} \|A \cup B \cup C\| = \|A \cup B\| \end{eqnarray}$ folgt. Meine Ideen: Die zweite Aussage soll bewiesen werden. Nach Voraussetzung gibt es ein bijektives $\begin{eqnarray} f: A \cup B \cup C \to A \end{eqnarray}$ . Setzen wir $\begin{eqnarray} C_0 := C \end{eqnarray}$ und definieren rekursiv $\begin{eqnarray} C_{n+1} = f(C_n) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ einer natürlichen Zahl, so sind die entstehenden $\begin{eqnarray} C_n \end{eqnarray}$ paarweise disjunkt (über vollständige Induktion beweisbar) und die Funktion $\begin{eqnarray} h(x) = f(x) \end{eqnarray}$ , falls $\begin{eqnarray} x \in C^\star \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} C^\star = \bigcup_{n} C_n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h(x) = x \end{eqnarray}$ sonst ist bijektiv. Dies beweist die Aussage. Meine Frage ist nun folgende: Warum würde der Beweis nicht funktionieren, wenn wir $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nur einmal auf $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ anwenden würden, wenn also $\begin{eqnarray} C^\star = C \end{eqnarray}$ wäre? Denn dann würden wir ja auch in der Menge $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ landen, d.h. alle Elemente aus $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ würden bijektiv nach $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ abgebildet werden und alle Elemente aus $\begin{eqnarray} A, B \end{eqnarray}$ würden nach der Definition von $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ bleiben, wo sie sind. Das Bild von $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ wäre also auch $\begin{eqnarray} A \cup B \end{eqnarray}$ , wie gewünscht, oder übersehe ich etwas? Anders formuliert: Wieso brauchen wir die $\begin{eqnarray} C_n \end{eqnarray}$ ?
23.07.2021, 15:50	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, wie würdest du bei deiner Version die Injektivität der konstruierten Abbildung zeigen?
23.07.2021, 16:43	KCntr	Auf diesen Beitrag antworten »
Grüß dich, folgt die Injektivität von $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ nicht aus der Bijektivität der Identität und von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ?
23.07.2021, 17:19	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das sind keine Eigenschaften, die sich übertragen. Betrachte zum Beispiel zwei Abbildungen f,g: {x,y} -> {x,y}. f sei die Identität, g soll die beiden Elemente vertauschen. Wenn du jetzt h(x) = f(x) und h(y) = g(y) definierst, dann ist h sicher nicht bijektiv, obwohl f,g es sind.
23.07.2021, 17:38	KCntr	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Gegenbeispiel seh ich ein, aber wenn zwei Elemente $\begin{eqnarray} x,y \in C \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ auf denselben Wert in $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ abgebildet werden, $\begin{eqnarray} h(x)=h(y) \end{eqnarray}$ , dann ist das doch laut Konstruktion nichts Anderes als $\begin{eqnarray} f(x)=f(y) \end{eqnarray}$ und da $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ bijektiv ist, ist $\begin{eqnarray} x=y \end{eqnarray}$ . Ich stehe auf dem Schlauch. Vermutlich bin ich gedanklich viel zu sehr festgefahren im Moment.
23.07.2021, 17:41	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Und was ist, wenn x aus C ist, y aber nicht? Dann folgt aus h(x) = h(y), dass f(x) = y, ich sehe nicht, wie du hier weiter machen willst. Im Gegenteil, wenn x aus C ist, dann ist h(x) ungleich x, aber, h(h(x)) = h(x), da h(x) nicht aus C.
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23.07.2021, 18:09	Kcntr	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, dann kann es ein $\begin{eqnarray} y \in A \end{eqnarray}$ geben mit $\begin{eqnarray} h(x)=h(y) \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} f(x)=y \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} x \neq y \end{eqnarray}$ . Wenn ich anstatt $\begin{eqnarray} C^\star = C \end{eqnarray}$ nun aber $\begin{eqnarray} C^\star = \bigcup_n C_n \end{eqnarray}$ zu Grunde lege, dann würde aus $\begin{eqnarray} h(x)=h(y) \end{eqnarray}$ , wobei jetzt $\begin{eqnarray} x,y \in C^\star \end{eqnarray}$ , ja $\begin{eqnarray} f(x)=f(y) \end{eqnarray}$ folgen, womit ich die Injektivität hätte. Sehe ich das so richtig?
23.07.2021, 19:23	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
x,y aus C* war auch bei deiner Konstruktion nicht das Problem, du musst den Fall x aus C, und y nicht aus C betrachten, der ist der interessante.
23.07.2021, 20:24	Kcntr	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist es dann nicht so, dass wenn $\begin{eqnarray} x \in C^\star, y \in A, y \notin C^\star \end{eqnarray}$ , aus $\begin{eqnarray} h(x)=h(y) \end{eqnarray}$ wieder $\begin{eqnarray} f(x)=y \end{eqnarray}$ folgt, nur dass der Widerspruch, dass $\begin{eqnarray} f(x)\in C^\star, y \notin C^\star \end{eqnarray}$ diesmal aufgelöst werden kann, indem man sagt, dass doch $\begin{eqnarray} y\in C^\star \end{eqnarray}$ gelten muss? Vorher, mit $\begin{eqnarray} C^\star = C \end{eqnarray}$ , ging das ja nicht, weil ja nach Voraussetzung y in A ist, nicht in C. Sorry, wenn ich mich so schwer tue, aber ich bin noch Schüler und interessiere mich sehr für Mathematik, sodass ich das unbedingt verstehen möchte
23.07.2021, 21:05	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich finde deine Argumentation hier noch nicht klar genug. Wir fangen nochmal von vorne an. Seien $\begin{eqnarray} x, y\in A\cup B\cup C \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x \neq y \end{eqnarray}$ . Zu zeigen ist $\begin{eqnarray} h(x) \neq h(y) \end{eqnarray}$ . Es gibt 3 Fälle (eigentlich 4, aber zwei laufen wegen Symmetrie aufs gleiche hinaus). 1. $\begin{eqnarray} x,y \in C^ \end{eqnarray}$ : hier folgt die Behauptung aus der Injektivität von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ . 2. $\begin{eqnarray} x, y\not\in C^* \end{eqnarray}$ , gleiches Argument, wie bei 1. nur mit Id statt f. 3. $\begin{eqnarray} x\in C^, y\not\in C^ \end{eqnarray}$ . Du hast bereits gesagt, hier ist $\begin{eqnarray} f(x)\neq y \end{eqnarray*}$ zu zeigen. Hier fehlt jetzt noch ein klares Argument, warum das so ist.
24.07.2021, 09:41	Kcntr	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, also, wenn im dritten Fall $\begin{eqnarray} x \in C^\star, y\notin C^\star \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} f(x) \in C^\star \end{eqnarray}$ , aber natürlich immer noch $\begin{eqnarray} y \notin C^\star \end{eqnarray}$ . Die Aussage $\begin{eqnarray} f(x)=y \end{eqnarray}$ kann deshalb nicht wahr sein, weil $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ nicht einmal Elemente derselben Menge sind (zumindest nicht der Menge, die hier relevant ist). Bin ich auf dem richtigen Weg?
24.07.2021, 10:27	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist korrekt. Der springende Punkt dabei ist $\begin{eqnarray} f(C^\ast) \subset C^\ast \end{eqnarray}$ , die hattest du bei $\begin{eqnarray} C^\ast = C \end{eqnarray}$ nicht. Da du ja Interesse hast: Man nennt die Menge $\begin{eqnarray} C^\ast \end{eqnarray}$ dann f-invariant.
24.07.2021, 11:17	Kcntr	Auf diesen Beitrag antworten »
Prima, dann lass es mich noch mal zusammenfassen: Wenn wir $\begin{eqnarray} C^\star=C \end{eqnarray}$ wählen, dann kann aus $\begin{eqnarray} h(x)=h(y), x \in C^\star, y \in A, \end{eqnarray}$ folgen, dass $\begin{eqnarray} f(x)=y \end{eqnarray}$ , weil dann beide Seiten der Gleichung Elemente von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ sind. Sprich, es ist nicht ausgeschlossen, dass $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ auf denselben Wert abgebildet werden (nämlich auf $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ ). Damit wäre dann $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ nicht injektiv. Wenn wir nun aber $\begin{eqnarray} C^\star = \bigcup_n C_n \end{eqnarray}$ setzen, dann kann aus $\begin{eqnarray} h(x)=h(y), x\in C^\star, y \notin C^\star, \end{eqnarray}$ nicht mehr $\begin{eqnarray} f(x)=y \end{eqnarray}$ gefolgert werden, weil $\begin{eqnarray} C^\star \end{eqnarray}$ nun - im Gegensatz zu vorher - f-invariant ist. Ist das die richtige Argumentation?
24.07.2021, 11:42	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist so nicht ganz korrekt, du verwendest jetzt wieder eine leicht andere Argumentation, als die, die ich vorgeschlagen hatte. Das ist in Ordnung, aber du musst dann dein Argument etwas anpassen. Kurzer Exkurs: Eine Möglichkeit, Injektivität nachzuweisen, ist zu zeigen, dass für $\begin{eqnarray} x,y\in A\cup B\cup C \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} h(x) = h(y) \end{eqnarray}$ bereits $\begin{eqnarray} x = y \end{eqnarray}$ folgen muss (dies ist dir anscheinend bekannt), eine andere Möglichkeit ist, die Kontraposition zu zeigen: Für $\begin{eqnarray} x,y \in A\cup B\cup C \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x \neq y \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} h(x) \neq h(y) \end{eqnarray}$ . Exkurs ende. Ich hatte in meinem Beitrag gestern um 21:05 versucht, dich auf letztere Möglichkeit zu lenken, weil das meines Erachtens nach hier etwas intuitiver ist. Du bist jetzt aber wieder zur ersten Möglichkeit umgeschwankt und diese bedarf dann eines leicht anderen Arguments. Ich denke, du brauchst dann einen Widerspruchsbeweis, der etwa so lauten könnte. Seien $\begin{eqnarray} x,y\in A\cup B\cup C \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} h(x) = h(y) \end{eqnarray}$ . Falls $\begin{eqnarray} x,y\in C^\ast \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x,y\not\in C^\ast \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} x=y \end{eqnarray}$ mit der Injektivität von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \mathrm{Id} \end{eqnarray}$ . Falls $\begin{eqnarray} x\in C^\ast \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} y\not\in C^\ast \end{eqnarray}$ gilt offenbar $\begin{eqnarray} x\neq y \end{eqnarray}$ (das ist natürlich unpraktisch, schließlich wollten wir ja gerade $\begin{eqnarray} x = y \end{eqnarray}$ zeigen). Wir müssen also zeigen, dass dieser Fall in Wahrheit gar nicht eintreten kann. Angenommen es gäbe doch $\begin{eqnarray} x\in C^\ast \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y\not\in C^\ast \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} h(x) = h(y) \end{eqnarray}$ dann gilt (wie wir oben gezeigt haben) $\begin{eqnarray} h(x) \neq h(y) \end{eqnarray}$ , Widerspruch, also war die Annahme falsch. Das wirkt ziemlich umständlich, schließlich zeigen wir auch hier letztendlich wieder Für $\begin{eqnarray} x,y \in A\cup B\cup C \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x \neq y \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} h(x) \neq h(y) \end{eqnarray}$ . Dann hätten wir das auch gleich machen können und uns den Widerspruchsbeweis sparen können.
24.07.2021, 19:38	Kcntr	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, jetzt ist es klar geworden. Danke für deine Hilfe und Geduld

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