Folgerungen aus dem Supremumsaxiom

26.07.2021, 16:14	Vorzeichenambiguität	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgerungen aus dem Supremumsaxiom Hallo, ich hätte eine Frage bezüglich eines "Hilfssatzes", den ich in unserem Analysis I Buch (Physik, 1. Semester) gefunden habe: Von einer reellen Zahl x sei bekannt, dass es eine Konstante $\begin{eqnarray} c>0 \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} x\leq\frac{c}{n} \end{eqnarray}$ für alle genügend großen natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} x\leq 0 \end{eqnarray}$ . Warum kann $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ nicht positiv sein bzw. wie kann man das zeigen? Ich gehe davon aus, dass die Antwort eher trivial ist und ich nur den Wald vor lauter Bäumen nicht sehe. Trotzdem wäre ich sehr dankbar, wenn jemand Licht in mein Dunkel bringen könnte. Liebe Grüße Tobi
26.07.2021, 17:51	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige $\begin{eqnarray} lim_{n \to\infty}(\frac c n)=c\cdot lim_{n \to\infty}(\frac 1 n)=0 \end{eqnarray}$ und folgere daraus die Behauptung.
26.07.2021, 17:56	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Moin, für positives x ist die Bedingung äquivalent zu $\begin{eqnarray} n < \frac cx \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ . Das heißt $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ ist beschränkt, es gibt also ein Supremum in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ . Führe das zu einem Widerspruch. @Elvis: In meiner Grundlagenvorlesung wurde dieser Satz (bzw. der sehr verwandte Satz von Archimedes) verwendet, um $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty} \frac 1n =0 \end{eqnarray}$ zu zeigen. Man müsste hier also je nach Aufbau der Vorlesung aufpassen, dass man keinen Zirkelschluss hat, wenn man deinen Ansatz verwendet.
27.07.2021, 17:33	Vorzeichenambiguität	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für eure Antworten! Ich hätte das jetzt folgendermaßen verstanden: Annahme: Es gibt ein $\begin{eqnarray} c>x \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} n\leq\frac{c}{x} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ . Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ eine obere Schranke für $\begin{eqnarray} n\cdot x \end{eqnarray}$ ist. Das würde zur Existenz eines Supremums $\begin{eqnarray} c_0 \end{eqnarray}$ führen. Wenn $\begin{eqnarray} n\cdot x\leq c_0 \end{eqnarray}$ für jede natürliche Zahl $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gilt, dann müsste nach der Wohlordnung von $\begin{eqnarray} \mathbb{N} \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} (n+1)\cdot x\leq c_0 \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} n\cdot x\leq c_0-x \end{eqnarray}$ gelten. Damit wäre auch $\begin{eqnarray} c_0-x \end{eqnarray}$ eine obere Schranke und wegen $\begin{eqnarray} c_0-x<c_0 \end{eqnarray}$ sogar das Supremum. Das widerspricht aber der Annahme, dass $\begin{eqnarray} c_0 \end{eqnarray}$ die kleinste obere Schranke ist. Ist das soweit richtig? LG
27.07.2021, 18:19	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, passt ansich, aber es sind ein paar falsche Begriffe dabei. Dass aus $\begin{eqnarray} nx< c \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ folgt, dass $\begin{eqnarray} (n+1)x < c \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ hat nichts mit Wohlordnung zu tun, sondern einfach mit der Definition der natürlichen Zahlen, dass zu jeder natürlichen Zahl auch der Nachfolger eine natürliche Zahl ist. Außerdem bräuchtest du gar nicht $\begin{eqnarray} n\cdot x \end{eqnarray}$ betrachten. Es gilt ganz einfach $\begin{eqnarray} n< c/x \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ . Also gibt es ein Supremum für $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ (statt bei dir $\begin{eqnarray} \mathbb N x \end{eqnarray}$ ). Du kannst jetzt deine Argumentation mit n so fortführen, wie du sie mit $\begin{eqnarray} nx \end{eqnarray}$ fortgeführt hast. Dein Beweis ist auch korrekt, du kannst ihn also auch so lassen.
28.07.2021, 11:31	Vorzeichenambiguität	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe! Vielen Dank für deine/eure Hilfe. Ich denke ich habe es jetzt verstanden.
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