Differentialrechnung Grippe

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Fleißige Schülerin Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialrechnung Grippe
Meine Frage:
Hallo guten Abend allerseits,

es sind Ferien und ich möchte auch ein paar Tage dafür nutzen, schnon mal vorzuarbeiten.

Ich sitze gerade an der folgenden Aufagbe:

Betrachtet man den Verlauf einer Grippeepidemie in einer Stadt mit 5000 Einwohnern, so lässt sich die Anzahl an Erkrankten E in Abhängigkeit von der Zeit t (in Tagen) annähernd durch eine Polynomfunktion 3. Grades mit der Gleichung beschreiben.
Gegeben ist eine Abbildung die den Verlauf des Graphen zeigt.
Ich weiß nicht ob meine Grafik sieht bzw. angehangen wurde (png Datei), deshalb ist hier die entsprechende Funktionsgleichung



a) Beschreiben Sie den Verlauf der Grippeepidemie qualitativ (ohne Rechnung).
Berücksichtigen Sie dabei folgende Fragen:
1) In welchen Zeitabschnitten stieg/ fiel die Anzahl der Erkrankten?
2) Zu welchen Zeitpunkten stieg bzw. fiel die Anzahl der Erkrankten am schnellsten?

b) Skizzieren Sie nun die Änderungsrate der Anzahl der Erkrankten in ein Koordinatensystem. Benutzen Sie dabei die Erkenntnisse aus Teilaufgabe a).

c) Beschreiben Sie nun die Änderungsrate ebenfalls qualitativ.

1) Wann war sie positiv, negativ, Null, maximal, minimal?
2) Was bedeutet positive, negative, maximale und minimale Änderungsrate für den Verlauf der Epidemie

d) Übertragen Sie nun Ihre Erkenntnisse aus dem Sachzusammenhang auf innermathematische Zusammenhänge, in dem Sie die folgende Tabelle ausfüllen:

Inhaltliche Deutung des Graphen E(t):
Inhaltliche Deutung der Ableitung E'(t):
Inhaltliche Deutung der Extrempunkte:
Inhaltliche Deutung der Wendepunkte:

Meine Ideen:
zu a)
1:
Vom Beginn bis um 10. Tag stieg die Anzahl an Erkrankten.
Vom 10. Bis zum 16. Tag fiel die Anzahl an Erkrankten.
2:
Am 3. Tag nimmt die Anzahl der Erkrankten am stärksten zu.
Am 14. Tag nimmt die Anzahl der Erkrankten am stärksten ab.
Am 10. Tag erreicht die Grippewelle ihr Maximum.

Zu b) Skizze einfügen funktioniert nicht so gut.

Hier meine verbalen Formulierungen:
Die Änderung würde so aussehen, dass der Graph von Tag 0 bis 10 oberhalb der X-Achse verläuft. Bei t=10 wird die x-Achse geschnitten (also eine Nullstelle). Ab dem 10. Tag verläuft der Graph unterhalb der x-Achse.

Zu c)

Also positiv: von Tag 0 bis 10
Negativ: ab Tag 10
Maximal: zwischen 4. Und 6. Tag
Minimal: weiß ich nicht

Zu d)

Inhaltliche Deutung des Graphen E(t):
Das ist der Bestand

Inhaltliche Deutung der Ableitung E'(t):
Gibt an wie schnell oder langsam sich die Funktion verändert

Inhaltliche Deutung der Extrempunkte:
Höchststand an Erkrankten oder minimaler Stand an Erkrankten

Inhaltliche Deutung der Wendepunkte:
Wann ist die Steigung am größten oder geringsten

Ich freue mich über eure Hilfe, um diese Aufgabe zu lösen.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Grafik ist leider nicht so gut gelungen, der Hintergrund sollte weiss sein ...
EDIT: Ahh, ist nur die Vorschau; wenn man daraufklickt, wird es gut sichtbar!

[attach]53386[/attach]

Zum Vergrößern klicken.
Grün: Bestandsfunktion; Rot: Änderungsrate (Ableitungsfunktion, Differentialquotient, Steigung)

Zuerst solltest du die Definitionsmenge bestimmen. Sie ist (nur) dort gegeben, wo die Funktionswerte positiv oder minimal 0 sind, denn eine negative Anzahl von Erkrankten gibt es nicht.

Da die Funktion 3. Grades nur einen Wendepunkt besitzt, kann es auch nur eine Stelle mit extremer Änderungsrate geben.
Diese ist nach 3 Tagen erreicht, richtig, am 14. Tag jedoch nicht, das ist falsch (wie kommst du darauf?).

Steigen und Fallen der Funktion (Monotonie) kann man aus dem Vorzeichen der 1. Ableitung ablesen.
Dabei solltest du dich (nur) im Definitionsbereich - zwischen 0 und der rechten Nullstelle - bewegen.
Die rechte Nullstelle liegt NICHT bei 10 (10 ist die Nullstelle der Ableitungsfunktion), sondern bei etwa 16.38 Tagen.
Daher stimmen b) und c) teilweise nicht.

Der Verlauf der Änderungsrate wird durch die 1. Ableitung E'(t) beschrieben. Wann ist sie maximal?
Du schreibst, zwischen dem 4. und 6. Tag. Woraus schließt du das?

Hier der Graph - nur noch in dem gültigen Definitionsbereich:

[attach]53390[/attach]

Ansonsten hast du schon gut und fleißig gearbeitet smile
Also überarbeite das Ganze nochmals etwas; du kannst auch jederzeit konkrete Fragen stellen.

mY+
Fleißige Schülerin Auf diesen Beitrag antworten »

Lieber mYthos,

vielen Dank für deine Hilfe.

Hier sin meine Korrekturen.

zu b)

Genau so wollte ich die rote Kurve darstellen, danke dir. Und natürlich liegt das Maximum dann bei t=3 nicht wie ich zurvor geschrieben hatte zwischen 4 und 6. Weil das Maximum der Änderung ist die Extremstelle von der 1. Ableitung also suche ich die Nullstellen von der 2. Ableitung.

für

Also verstehe ich richtig, bei Teilaufgabe b) genügt es den Graph der 1. Ableitungsfunktion (im gültigen DB) zu skizzieren, weil die 1. Ableitung gibt die Veränderung an.

zu c) es geht ja immer noch um die Änderungsrate, also betrachte ich wieder die Ableitungsfuntkion den roten Graph


positiv: also monton steigend ist im Intervall

negativ: also streng monton fallend im Intervall

Null: also die Nullstelle von der Ableitungsfunktion ist bei t=10, das wird

maximal: ist die Änderung beim Maximum, da ist Null, also die Steigung von ist bei t=3 Null

Minimal: hat kein Minimum und hat auch kein Minimum

Allerdings weiß ich nicht genau, wie man das jetzt interpretiert.

Vielleicht so:

positive Änderungsrate bedeutet Anzahl an Erkrankten nimmt zu.

negative Änderungsrate bdeutet Anzahl an Erkrankten nimmt ab.

maximale Änderungsrate bedeutet die größte Anzahl an Erkrankten.

Minimale Ändrungsrate bedeutet die geringste Anzahl an Erkrankten.

und stimmen meine Interpretation zu Teilaufgabe d)?

Danke für deine Hilfe :-)
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe es so, dass die Anzahl der Tage nicht unbedingt ganzzahlig sein muss. Also lautet das Intervall z. B. nicht [11, 16.38], sondern (10, 16.38], halboffenes Intervall*

Es geht weniger um die Monotonie von E', sondern um die von E (!)
Du solltest also aus dem Vorzeichen von E'(t) auf die Monotonie der Bestandsfunktion E(t) schließen:

(*)
E' > 0 --> E monoton steigend ()
E' < 0 --> E monoton fallend ()

Bei der strengen Monotonie von E ist t = 10 ausgeschlossen, dann gilt bei 10 nur das "Kleiner-Zeichen".

Zitat:
Original von Fleißige Schülerin
...
positive Änderungsrate bedeutet Anzahl an Erkrankten nimmt zu.

negative Änderungsrate bedeutet Anzahl an Erkrankten nimmt ab.

maximale Änderungsrate bedeutet die größte Anzahl an Erkrankten.

Minimale Änderungsrate bedeutet die geringste Anzahl an Erkrankten.
...


Die 3. Zeile stimmt nicht.
Bei dem Punkt mit der (relativ) maximalen Änderungsrate ändert sich das Krümmungsverhalten der Bestandskurve (von progressiv auf degressiv),
d.i. im Wendepunkt, wo die 2. Ableitung gleich Null wird (E' hat dort ein Extremum).

Die größte Anzahl von (derzeit) Erkrankten gibt es dort nicht, vielmehr ist dies im Hochpunkt bei t = 10 T der Fall. Hingegen ist im Hochpunkt die Änderungsrate E' im Moment Null.

Zur 4. Zeile:
Eine relative minimale Änderungsrate gibt es zwar nicht, wohl aber ein Randminimum bei der Nullstelle der Bestandsfunktion E.
Unter diesem Aspekt gesehen, existiert dort - an der rechten Grenze des Definitionsbereiches - eine minimale Anzahl (0) von Erkrankten.
Die Änderungsfunktion hat dort ein Randminimum, aber kein relatives Extremum.

d) stimmt so weit meines Erachtens.

mY+
Fleißige Schülerin Auf diesen Beitrag antworten »

Super, vielen lieben Dank :-)
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