Ungleichung vollständige Induktion

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Vorzeichenambiguität Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung vollständige Induktion
Hallo,

gleich vorweg: Ich bin nicht sattelfest mit Induktionsbeweisen und beginne gerade erst, mich in die Materie einzulesen.Momentan stecke bei einem Induktionsbeweis folgender Ungleichung, der in unserem Analysis für Physiker-Buch dem Leser als Übungsaufgabe bereits nach einigen Seiten überlassen ist (sollte also eigentlich machbar sein, verwirrt ):



Induktionsanfang:
für :


Induktionsschritt:
Es soll gezeigt werden:

Umgeschrieben:

Aus der Annahme gilt außerdem:

Betrachte ich nun den mittleren und rechten Term der Ungleichung kann ich schreiben:


So, ab hier (wenn ich nicht oben schon einen Blödsinn geschrieben habe), komme ich nicht mehr weiter. Ich nehme an, dass ich schon unnötig viel umgeformt habe. Der Schlüssel scheint die Bernoullische Ungleichung zu sein, aber ich komm nicht drauf, wie ich die günstig einsetzen könnte. Ich wäre dankbar, wenn wir jemand die Vorgehensweise Schritt für Schritt erklären könnte.

Liebe Grüße
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Moin! Wink

Du möchtest also zeigen. Ich würde dann umformen:







Für die letzte Ungleichung schätze ab und nutze Bernoulli.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung vollständige Induktion
Zitat:
Original von Vorzeichenambiguität
Aus der Annahme gilt außerdem:


Hier steht ein unzulässiger bzw. formal fragwürdiger Mix aus nachgewiesenen und zu zeigenden Ungleichungen. Besser:

Unter Anwendung der Induktionsvoraussetzung gilt außerdem:

Zeigen möchte ich nun diese Ungleichung:

Das sorgt für Transparenz und der Leser ist dankbar. smile
Vorzeichenambiguität Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, dann war ich ja doch nicht so weit weg wie ich ursprünglich dachte :P. Ich versuchs mal:
Bernoulli besagt ja . Daher müsste auch gelten. Für ergibt sich so:
.
Da für alle gilt, sollte die Ungleichung

damit doch bewiesen sein?

Ja? Engel
Vorzeichenambiguität Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung vollständige Induktion
Zitat:
Original von klarsoweit
Das sorgt für Transparenz und der Leser ist dankbar. smile


Alles klar, danke dir! Augenzwinkern
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