Vereinfachung des Exponenten der multivariaten Gaußverteilung

29.07.2021, 10:58	mathefrager1235	Auf diesen Beitrag antworten »
Vereinfachung des Exponenten der multivariaten Gaußverteilung Meine Frage: Hallo, ich habe ein Verständnisproblem bei folgendem Zusammenhang: $\begin{eqnarray} f_X(x) = \frac{ 1 }{\sqrt{(2\pi)^p det(\Sigma)}} \exp{\left(-\frac{1}{2} (x-\mu)^T \Sigma^{-1}(x-\mu)\right)} \end{eqnarray}$ Betrachtet wird anschließend nur ein Teil des Exponenten welcher sich auch folgendermaßen schreiben lässt: $\begin{eqnarray} \left((x-\mu)^T \Sigma^{-1}(x-\mu)\right) = -2x^T\Sigma^{-1} \mu + \mu^T \Sigma^{-1}\mu \end{eqnarray}$ Für Tipps bzw. die Auflösung bin ich sehr dankbar. Meine Ideen: Meine bisherigen Ansätzen haben leider nicht zu dem gewünschten Ergebnis geführt.
29.07.2021, 11:10	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt nicht ganz, du hast einen Term vergessen. Erstmal ausmultiplizieren: $\begin{eqnarray} (x-\mu)^T \Sigma^{-1}(x-\mu) = x^T\Sigma^{-1}(x-\mu) - \mu^T\Sigma^{-1}(x-\mu) = x^T\Sigma^{-1}x - x^T\Sigma^{-1}\mu - \mu^T\Sigma^{-1}x + \mu^T\Sigma^{-1}\mu\qquad () \end{eqnarray}$ Nun sind $\begin{eqnarray} x^T\Sigma^{-1}\mu \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mu^T\Sigma^{-1}x \end{eqnarray}$ reelle Zahlen bzw. man kann sie auch als $\begin{eqnarray} 1\times 1 \end{eqnarray}$ -Matrizen betrachten, deren Transponierte wieder dasselbe ergibt. Damit ist $\begin{eqnarray} \mu^T\Sigma^{-1}x = \left( \mu^T\Sigma^{-1}x \right)^T = x^T \left( \Sigma^{-1} \right)^T \mu \end{eqnarray}$ Nun ist Kovarianzmatrix $\begin{eqnarray} \Sigma \end{eqnarray}$ symmetrisch, was damit dann auch für deren Inverse zutrifft, es folgt $\begin{eqnarray} \mu^T\Sigma^{-1}x = x^T \Sigma^{-1} \mu \end{eqnarray}$ und damit aus () dann $\begin{eqnarray} (x-\mu)^T \Sigma^{-1}(x-\mu) = {\color{red}x^T\Sigma^{-1}x} - 2x^T\Sigma^{-1}\mu + \mu^T\Sigma^{-1}\mu \end{eqnarray}$ .
09.08.2021, 10:05	fritzeee	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun wieder mit Account. Vielen Dank noch für die schnelle Antwort und super Erklärung!!!!

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