Wann ist die Ordnung modulo m endlich?

30.07.2021, 15:53

Malcang

Wann ist die Ordnung modulo m endlich?

Guten Tag,

ich habe diese Definiton der Ordnung eines Elemente a modulo m:

Zitat:

Seien a und m natürliche Zahlen. Dann ist die Ordnung von a zu m definiert als
$\begin{eqnarray*} ord_m(a) := \min\left\{ n\in\mathbb N: a^n \equiv 1 \mod m\right\}. \end{eqnarray*}$
Sollte keine natürliche Zahl n dies erfüllen, setze $\begin{eqnarray*} ord_m(a) :=\infty \end{eqnarray*}$

Ich frage mich, ob es Kriterium gibt, sodass diese Ordnung endlich ist.
Ich vermute wenn a und m teilerfremd sind.
Leider konnte ich aber weder einen Beweis führen noch einen solchen finden.

Könnt ihr mir weiterhelfen?

30.07.2021, 17:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von ichwarneu
Ich vermute wenn a und m teilerfremd sind.

Ja.

Zitat:

Original von ichwarneu
Leider konnte ich aber weder einen Beweis führen noch einen solchen finden.

Im Positivfall: Satz von Euler-Fermat.

Im Negativfall: Gilt $\begin{eqnarray*} g>1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} g:=\operatorname{ggT}(a,m) \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} a^k\equiv 0\bmod g \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\geq 1 \end{eqnarray*}$ , während bei endlicher Ordnung ja $\begin{eqnarray*} a^k\equiv 1\bmod g \end{eqnarray*}$ zumindest für $\begin{eqnarray*} k=\operatorname{ord}(a) \end{eqnarray*}$ gelten müsste - Widerspruch.

30.07.2021, 22:08

Malcang

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Hallo HAL 9000,

ganz toll, das hat mir sehr geholfen!

Vielen Dank dafür smile

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