Unterschied "strikter lokaler Minimalpunkt" und "nichtdegenerierter lokaler Minimalpunkt" |
30.07.2021, 23:52 | uhgbm | Auf diesen Beitrag antworten » |
Unterschied "strikter lokaler Minimalpunkt" und "nichtdegenerierter lokaler Minimalpunkt" Gegeben sei eine zweimal stetig differenzierbare Funktion f: R^n -> R und ein Punkt x* \in R^n Was ist hier der Unterschied zwischen einem "strikten lokalen Minimalpunkt" und einem "nichtdegenerierten lokaler Minimalpunkt"? Meine Ideen: Ich verstehe den Unterschied zwischen den beiden Definitionen nicht. Meines Wissens sind die Bedingungen wie folgt: strikter lokaler Minimalpunkt: Gradient = 0 und Hessematrix positiv definit (alle Eigenwerte > 0) nichtdegenerierter lokaler Minimalpunkt: ist lokaler Minimalpunkt (Gradient = 0 und Hessematrix positiv semidefinit) und ist nichtdegeneriert (Hesse Matrix ist nichtsingulär -> keiner der Eigenwerte ist 0) Demensprechend müsste das doch das gleiche sein oder nicht? Übersehe ich etwas? |
||
31.07.2021, 06:58 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Unterschied "strikter lokaler Minimalpunkt" und "nichtdegenerierter lokaler Minimalpunkt" Deine gegebenen Definition sind tatsächlich äquivalent. Ich kenne allerdings einen strikten lokalen Minimalpunkt anders. Salopp formuliert lautet die: Alle anderen Funktionswerte "in der Nähe" sind echt größer. Genauer: Lokales Minimum: ist lokales Minimum, wenn ein existiert, so dass für alle mit gilt . Striktes lokales Minimum ist striktes lokales Minimum, wenn ein existiert, so dass für alle (!) mit gilt . Es heißt striktes Minimum, weil es eine strikte Ungleichung ist. Beispiel: hat überall lokale Minimalpunkte, welche nie strikt sind. Beispiel: hat bei 0 striktes lokales Minimum. Beispiel: hat bei 0 striktes lokales Minimum. Wenn wir ausrechnen, bekommen wir und ; und sowie und . D.h. beide strikt, aber ist nicht-degeneriert, wáhrend degeneriert wäre. |
|
Verwandte Themen
Die Beliebtesten » |
Die Größten » |
|
Die Neuesten » |
|