Unterschied "strikter lokaler Minimalpunkt" und "nichtdegenerierter lokaler Minimalpunkt"

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uhgbm Auf diesen Beitrag antworten »
Unterschied "strikter lokaler Minimalpunkt" und "nichtdegenerierter lokaler Minimalpunkt"
Meine Frage:
Gegeben sei eine zweimal stetig differenzierbare Funktion f: R^n -> R und ein Punkt x* \in R^n

Was ist hier der Unterschied zwischen einem "strikten lokalen Minimalpunkt" und einem "nichtdegenerierten lokaler Minimalpunkt"?

Meine Ideen:
Ich verstehe den Unterschied zwischen den beiden Definitionen nicht.
Meines Wissens sind die Bedingungen wie folgt:

strikter lokaler Minimalpunkt:
Gradient = 0 und Hessematrix positiv definit (alle Eigenwerte > 0)

nichtdegenerierter lokaler Minimalpunkt:
ist lokaler Minimalpunkt (Gradient = 0 und Hessematrix positiv semidefinit)
und ist nichtdegeneriert (Hesse Matrix ist nichtsingulär -> keiner der Eigenwerte ist 0)

Demensprechend müsste das doch das gleiche sein oder nicht? Übersehe ich etwas?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterschied "strikter lokaler Minimalpunkt" und "nichtdegenerierter lokaler Minimalpunkt"
Deine gegebenen Definition sind tatsächlich äquivalent. Ich kenne allerdings einen strikten lokalen Minimalpunkt anders. Salopp formuliert lautet die: Alle anderen Funktionswerte "in der Nähe" sind echt größer. Genauer:
Lokales Minimum:
ist lokales Minimum, wenn ein existiert, so dass für alle mit gilt .

Striktes lokales Minimum
ist striktes lokales Minimum, wenn ein existiert, so dass für alle (!) mit gilt .

Es heißt striktes Minimum, weil es eine strikte Ungleichung ist.

Beispiel: hat überall lokale Minimalpunkte, welche nie strikt sind.

Beispiel: hat bei 0 striktes lokales Minimum.

Beispiel: hat bei 0 striktes lokales Minimum.

Wenn wir ausrechnen, bekommen wir und ; und sowie und .

D.h. beide strikt, aber ist nicht-degeneriert, wáhrend degeneriert wäre.
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