Arithmetische Folge und Summe in einer Gleichung

31.07.2021, 16:06

Hamsterchen

Arithmetische Folge und Summe in einer Gleichung

Hallo alle zusammen, ich habe hier eine Aufgabe in Instagram geteilt bekommen. Ich bin leider voll raus was Mathe angeht traurig

aber interessieren würde mich trotzdem, wie man das ausrechnet. Vielleicht könnt ihr mir da helfen

Die Frage ist, wie lautet $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ wenn folgende Gleichung erfüllt sein muss

$\begin{eqnarray*} \frac{a_n + 2}{2}=\sqrt{2s_n} \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ wahrscheinlich ne Folge und $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ dann wohl die Summe der Folgenglieder darstellen soll. Die Lösung ist $\begin{eqnarray*} a_n=4n-2 \end{eqnarray*}$ , das kann ich auch nachvollziehen, aber wie kommt man drauf?

Danke schon mal und liebe Grüße an alle
Hamsterchen

31.07.2021, 17:48

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RE: Arithmetische Folge und Summe in einer Gleichung
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=s_{n+1}-s_n \end{eqnarray*}$ . Darin rechts die gegebene Information eingesetzt, ein bisschen umgerührt, und man findet die Rekursion $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=a_n+4 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} a_n=a_0+4n \end{eqnarray*}$

31.07.2021, 18:13

Huggy

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RE: Arithmetische Folge und Summe in einer Gleichung
Es gibt übrigens zu

$\begin{eqnarray*} \frac{a_n + 2}{2}=\sqrt{2s_n} \end{eqnarray*}$

neben der Lösung $\begin{eqnarray*} a_n=4n-2 \end{eqnarray*}$ eine zweite Lösung.

31.07.2021, 18:32

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RE: Arithmetische Folge und Summe in einer Gleichung
@Huggy: Du hast natürlich recht. Ich war vorhin einfach zu faul, die Betragsgleichung vollständig zu betrachten. Erwischt Engel

02.08.2021, 20:06

Hamsterchen

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Guten Abend Wink

Erst einmal vielen Dank für die Antworten. Ich habe es versucht aber irgendwie kommen da dann so viele Quadrate vor wenn ich die Ausgangsgleichung nach $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} s_{n+1} \end{eqnarray*}$ auflöse und dies dann in die Formel $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=s_{n+1}-s_n \end{eqnarray*}$ einsetze. Könnt ihr mir da nochmal auf die Sprünge helfen?

Ps: es ist wirklich erschreckend, wie einem sowas plötzlich schwer fällt wenn das Studium ein paar Jährchen her ist geschockt

LG und einen schönen Abend
Hamsterchen

02.08.2021, 21:42

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Dann helfe ich dir mal über die Straße Augenzwinkern

Aus $\begin{eqnarray*} \frac{a_n+2}{2}=\sqrt{2s_n} \end{eqnarray*}$ bekommt man durch quadrieren und einfache Umstellung $\begin{eqnarray*} 8s_n=(a_n+2)^2 \end{eqnarray*}$ und damit
$\begin{eqnarray*} 8a_{n+1}=8(s_{n+1}-s_n)=(a_{n+1}+2)^2-(a_{n}+2)^2 \end{eqnarray*}$ .
Die linke Seite kann man jetzt wunderbar mit $\begin{eqnarray*} (a_{n+1}+2)^2 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} (a_{n+1}-2)^2 \end{eqnarray*}$ verarbeiten und bekommt damit $\begin{eqnarray*} (a_{n+1}-2)^2=(a_{n}+2)^2 \end{eqnarray*}$ .
Die rechte Seite ist nichtnegativ (warum?) bei der linken muss man beim Wurzel ziehen dann zum Betrag übergehen.
Kommst du damit weiter?

02.08.2021, 22:26

Hamsterchen

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Hallo URL, das hat mir sehr geholfen smile

vielen Dank. Kann jetzt alle Schritte nachvollziehen und komme auch auf das Ergebnis $\begin{eqnarray*} a_n=4n-2 \end{eqnarray*}$ und mit dem Betrag komme ich außerdem auf eine alternierende Folge $\begin{eqnarray*} a_n=2\cdot (-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$ . Warum ich allerdings annehmen kann, dass $\begin{eqnarray*} a_n+2 \end{eqnarray*}$ nichtnegativ ist, weiß ich (noch) nicht verwirrt

Liebe Grüße
Hamsterchen

02.08.2021, 22:28

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Welches Vorzeichen hat $\begin{eqnarray*} \sqrt{2s_n} \end{eqnarray*}$ ?

Edit: Statt der Wurzelei geht es auch mit der dritten binomischen $\begin{eqnarray*} 0=(a_{n+1}-2)^2-(a_n+2)^2=(a_{n+1}-a_n-4)(a_{n+1}-a_n) \end{eqnarray*}$

02.08.2021, 22:33

Hamsterchen

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Ähm ich weiß nicht *lach* stehe etwas auf'm Schlauch Hammer

02.08.2021, 22:34

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Ernsthaft jetzt? Die (reelle) Wurzel ist doch immer nichtnegativ.

02.08.2021, 22:36

Hamsterchen

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Wenn ich doch Wurzel aus 4 nehme, ist - 2 ja auch ne Lösung verwirrt

oder meinst du den Term unter der Wurzel? Der darf natürlich nicht negativ sein...

02.08.2021, 22:39

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Ah, dein Studium ist wirklich schon länger her Augenzwinkern

Es geht hier um die Wurzel, nicht um alle Lösungen der quadratischen Gleichung.
$\begin{eqnarray*} \sqrt 4 \end{eqnarray*}$ ist per definitionem diejenige nichtnegative Zahl, deren Quadrat 4 ist, also 2 und nichts anderes.
Die Menge aller Lösunge der quadratischen Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2=4 \end{eqnarray*}$ besteht aus 2 und -2. Das ist hier aber nicht die Frage.

Edit @Huggy: Wenn ich das recht sehe, gibt es sogar unendlich viele Lösungen, weil man eine beliebig lange Sequenz 2,-2,2,-2,... an den Anfang stellen kann. Hat man den Pfad aber einmal verlassen, führt kein Weg zurück, d.h. dann gilt die Rekursion $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=a_n+4 \end{eqnarray*}$

03.08.2021, 08:43

Huggy

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Zitat:

Original von URL
Wenn ich das recht sehe, gibt es sogar unendlich viele Lösungen, weil man eine beliebig lange Sequenz 2,-2,2,-2,... an den Anfang stellen kann. Hat man den Pfad aber einmal verlassen, führt kein Weg zurück, d.h. dann gilt die Rekursion $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=a_n+4 \end{eqnarray*}$

Stimmt. Bekannter ist dieses Phänomen bei Differentialgleichungen.

03.08.2021, 11:33

Hamsterchen

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Also kann ich annehmen, dass $\begin{eqnarray*} a_n+2 \end{eqnarray*}$ nichtnegativ ist da es in der Ausgangsgleichung nur durch 2 geteilt wird und das gleich der Wurzel ist, die defonitionsgemäß nichtnegativ ist?

Worauf möchtest du mit deiner anderen Gleichung hinaus? Das verstehe ich noch nicht.

Die Aussage, dass es viele Folgen geben kann die mit 2,-2,2,-2 anfangen und irgendwann in das andere Muster überspringen kann ich zwar nachvollziehen, aber ich wüsste jetzt nicht, wie man das mathematisch ausdrückt verwirrt

Vielen lieben Dank nochmal für die Hilfe
Das matheboard hat mir auch während des Studiums echt viel und gut geholfen, bin sehr dankbar, dass es euch gibt smile

03.08.2021, 17:09

HAL 9000

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Eine kurze Anmerkung nur: Mit Substitution $\begin{eqnarray*} b_n := \sqrt{2s_n} \end{eqnarray*}$ kann man die Gleichung nach wenigen Schritten in

$\begin{eqnarray*} \left|b_n-2\right| = b_{n-1} \end{eqnarray*}$ mit Start $\begin{eqnarray*} b_0=0 \end{eqnarray*}$

überführen, womit sich (vielleicht) leichter argumentieren lässt.

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