Vergleichbarkeit der Mächtigkeiten zweier Mengen [Mengenlehre]

31.07.2021, 20:15	Kcntr	Auf diesen Beitrag antworten »
Vergleichbarkeit der Mächtigkeiten zweier Mengen [Mengenlehre] Hi zusammen, ich hoffe, das sich jemand die Zeit nehmen kann, mir etwas zu erklären. Aktuell arbeite ich einen Beweis des Vergleichbarkeitssatzes durch, der besagt, dass $\begin{eqnarray} \|M\| \leq \|N\| \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \|N\| \leq \|M\| \end{eqnarray}$ für zwei beliebige Mengen $\begin{eqnarray} M,N \end{eqnarray}$ gilt. Ich beziehe mich auf den Beweis von Zermelo, der in Oliver Deisers "Einführung in die Mengenlehre" am Anfang des fünften Kapitels aufgeführt ist. Den Beweis Schritt für Schritt reproduzieren zu können, ist schön und gut, aber ich will verstehen, was da eigentlich wirklich passiert und warum die einzelnen Schritte überhaupt Sinn ergeben. Deshalb würde ich den Beweis in seinen essenziellsten Zügen gerne mal hier posten und mit eurer Hilfe schauen, was und ob ich es verstehe. Ich hab leider niemanden, um mich darüber auszutauschen, weil ich noch Schüler bin und mein Lehrer mir auch nicht wirklich weiterhelfen kann... Also, der Ausgangspunkt, um die obige Aussage zu beweisen, ist die Menge $\begin{eqnarray} Z = \{f\ \|\ \text{dom}(f) = M' \subseteq M,\ \text{rng}=N'\subseteq N,\ f: M' \to N'\ \text{bijektiv}\} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \text{dom}(f) \end{eqnarray}$ der Definitionsbereich und $\begin{eqnarray} \text{rng}(f) \end{eqnarray}$ der Wertebereich von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ sind. Um die Aussage zu beweisen, müssen wir zeigen, dass es ein $\begin{eqnarray} f\in Z \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} \text{dom}(f)=M \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \text{rng}(f)=N \end{eqnarray}$ . In diesem Fall gäbe es nämlich eine injektive Funktion zwischen den beiden Mengen. Wir zeigen die Existenz einer solchen Funktion durch Widerspruch und nehmen also an, dass eine solche Funktion nicht existiert. In diesem Fall würde für alle $\begin{eqnarray} f\in Z \end{eqnarray}$ gelten, dass $\begin{eqnarray} f^ = f \cup \{(x_f, y_f)\} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_f\in M, x_f\notin \text{dom}(f), y_f\in N, y_f\notin\text{rng}(f) \end{eqnarray}$ eine echte Fortsetzung um genau ein Element von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist. Wir wollen nun zeigen, dass es eine nicht mehr erweiterbare Funktion gibt, da man sie sonst so lange erweitern könnte, bis ihr Definitionsbereich $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ oder ihr Wertebereich $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ entspricht. Hierzu ist der Begriff der geschlossenen Kette* hilfreich: Ein $\begin{eqnarray} T\subseteq Z \end{eqnarray}$ ist eine Kette, wenn sie nicht leer ist und wenn für alle $\begin{eqnarray} f,g\in T \end{eqnarray}$ gilt, dass $\begin{eqnarray} f\subseteq g \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} g \subseteq f \end{eqnarray}$ . Eine Kette enthält also Funktionen, die entweder erweiterbar oder selbst Erweiterungen einer Funktion sind. Geschlossen ist eine Kette, wenn i) $\begin{eqnarray} f_0 \in T,\quad\text{ wobei } f_0\in Z\text{ beliebig, aber vorher fixiert}, \end{eqnarray}$ ii) $\begin{eqnarray} f^\in T,\quad\text{ wenn } f\in T\text{ für alle } f\in Z \end{eqnarray}$ , iii) $\begin{eqnarray} \bigcup T'\in T, \quad\text{ wenn } T'\subseteq T\text{ eine Kette ist}. \end{eqnarray}$ Die interessante Menge, mit der wir den Widerspruch herbeiführen werden, ist nun $\begin{eqnarray} T^* = \bigcap\{T\subseteq Z\ \|\ T\text{ geschlossen}\}. \end{eqnarray}$ Diese Menge enthält quasi die Elemente, die eine Kette mindestens enthalten muss, um geschlossen zu sein. Man kann nun zeigen, dass $\begin{eqnarray} T^* \end{eqnarray}$ eine geschlossene Kette ist. Diesen Beweis habe ich soweit verstanden, d.h. den schreib ich hier mal nicht hin. Wenn man nun $\begin{eqnarray} f=\bigcup T^* \end{eqnarray}$ setzt, dann ist wegen der Geschlossenheit $\begin{eqnarray} f\in T^, f\subset f^ \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f^* \in T^* \end{eqnarray}$ . Wir haben also gezeigt, dass das es in $\begin{eqnarray} T^* \end{eqnarray}$ eine Funktion gibt, die ihre eigene Erweiterung enthält, was den Widerspruch herbeiführt. Also, was mir noch nicht ganz klar ist: Welchen Grund haben wir a priori, $\begin{eqnarray} T^* \end{eqnarray}$ als Schnittmenge über alle geschlossenen Ketten zu definieren? Klar, es kommt am Ende gut aus, aber vorher weiß man das ja u.U. nicht, deshalb finde ich diese Begründung unbefriedigend. Ist es so, dass wir mit $\begin{eqnarray} f=\bigcup T^* \end{eqnarray}$ quasi so etwas wie "die größte Funktion in $\begin{eqnarray} T^* \end{eqnarray}$ " bilden, da $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ja alle anderen Funktionen in $\begin{eqnarray} T^* \end{eqnarray}$ fortsetzt? Wieso erwartet man dann aber, dass $\begin{eqnarray} f^\notin T^ \end{eqnarray}$ , wenn man doch vorher schon weiß, dass $\begin{eqnarray} T^* \end{eqnarray}$ geschlossen ist? Ihr merkt vielleicht, dass mir dieses $\begin{eqnarray} T^* \end{eqnarray*}$ noch nicht ganz einleuchtet....
02.08.2021, 18:16	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Oliver Deiser sagt ganz richtig "Der Beweis des Satzes ist der härteste Brocken dieser Einführung, und der nicht allzu ehrgeizige Leser kann zunächst nur seine Aussage zur Kenntnis nehmen und den Beweis überschlagen." Ich kenne niemanden, einschließlich meiner Wenigkeit, der, die oder das derartig übermäßig ehrgeizig ist, dass er oder sie oder es diesen Beweis wirklich nachvollziehen will. Wenn du alle Details verstanden hast, dannn ist es aber auch gut, du musst nicht versuchen, einen tiefer liegenden Sinn hinter einem Beweis zu suchen. Ein Beweis ist ein Beweis, er ist als solcher richtig, und damit ist es genug. Es ist vielleicht etwas verwirrend, dass das Symbol T im Verlauf des Beweises verschiedene Bedeutungen hat. Um den Beweis durchsichtiger zu gestalten könnte man die einzelnen Schritte als Hilfssätze formulieren und beweisen, bevor man den Satz beweist. (Deine Verwirrung fällt auf, weil du von geschlossener Kette T statt von geschlossener Teilmenge T redest !). Wenn du den Beweis verstanden hast und dennoch nicht zufrieden bist, dann findest du im weiteren Verlauf des Textes von Oliver Deiser noch einige Gedanken und Erläuterungen dazu. "Eigentlich" ist ales ganz einfach. Man nimmt nicht nur per vollständiger Induktion sondern per transfiniter Induktion zu einem $\begin{eqnarray} f_0 \end{eqnarray}$ immer ein Paar $\begin{eqnarray} (x_f,y_f) \end{eqnarray}$ dazu, bis man fertig ist. Dass die Mathematiker 30 Jahre für den ersten Beweis gebraucht haben, sollte uns bescheiden machen, wir müssen den Beweis nicht in 30 Minuten verstehen.

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