Simpson-Regel

31.07.2021, 21:28

Bond31

Simpson-Regel

Guten Abend

habt ihr Tipps wie ich hier vorgehen kann ?

Berechnen sie mithilfe der Simpson Regel eine Näherung an das Integral

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1} \! (\frac{2}{1+x^2} +x) \, dx \end{eqnarray*}$

I2(f) = ?

31.07.2021, 22:19

klauss

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RE: Simpson-Regel
Welche Simpson-Formel ist Dir denn vorgegeben? Da könntest Du einfach einsetzen und ausrechnen.
Zur Kontrolle läßt sich der genaue Integralwert hier ja besonders leicht schon ohne Taschenrechner angeben.

Zur Abwandlung kann man auch das Integral unter Ausnutzuing der Symmetrien im Integranden umschreiben. Dann wird die Näherung interessanterweise genauer.

31.07.2021, 23:49

Bond31

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Im Skript steht das
Kannst du mir ein wenig bei der Anwendung helfen ?

01.08.2021, 00:37

klauss

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Ich würde empfehlen, mit
$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{6}\left[f(a)+4 \cdot f\left(\frac{a+b}{2} \right)+f(b) \right] \end{eqnarray*}$
zu beginnen. Wie gesagt ist das nur Einsetzen und Ausrechnen.
Das Ganze aber zum Vergleich zweimal. Denn über meinen Hinweis zur Symmetrie solltest Du schon nachdenken.

Später könnte man das natürlich zur Fleißarbeit auswalzen mit mehr Stützstellen, wenns unbedingt sein muß. Kommt drauf an, was Dir jetzt konkret als Arbeitsauftrag gegeben ist.

01.08.2021, 10:09

Bond31

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Ich habe dir mal meine Rechnung gepostet.
In der Aufgabe steht nur I2(f) = ?

Wie bist du eigentlich auf diese Formel gekommen .Hast du die von einer Integraltabelle ?
Was muss ich noch machen ?

01.08.2021, 14:06

klauss

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Meine Näherungsgleichung ist nur die gebrauchsfertige Version der Hackstücke aus Nr. 2 Deines Skripts und steht so auch in Formelsammlungen.

Die Rechnung mußt Du korrigieren, denn $\begin{eqnarray*} f(0)\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Meine Fragen nun:
1) Weißt Du denn, welcher Integralwert tatsächlich genau rauskommt?
2) Hast Du Dich mit meinem Vorschlag zur Symmetriebetrachtung inzwischen beschäftigt?
Wenn ich z. B. sage, das " $\begin{eqnarray*} +~x \end{eqnarray*}$ " im Integral kannst Du einfach weglassen, kannst Du das nachvollziehen?

01.08.2021, 14:33

Bond31

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Weißt Du denn, welcher Integralwert tatsächlich genau rauskommt?

nein habe leider keine Musterlösung

Warum setze ich f(0) ein ?
Die Grenzen sind doch -1 bis 1

01.08.2021, 14:59

klauss

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Du hast doch selbst oben $\begin{eqnarray*} 4\cdot f\left(\frac{-1+1}{2} \right) =4\cdot f(0) \end{eqnarray*}$ angesetzt. Aber das ergibt nicht 0.

Der Integralwert ist $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ , dafür sollte man keine Musterlösung brauchen.

01.08.2021, 15:23

Bond31

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Aber im Zähler ist doch -1+1 = 0 ?
= 0/2

Oder ist es sozusagen 4 ?

01.08.2021, 15:30

klauss

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RE: Simpson-Regel
Dann mit dem Zaunpfahl:
$\begin{eqnarray*} 4 \cdot f(0)=4 \cdot \left(\frac{2}{1+0^{2} }+0\right) \end{eqnarray*}$

01.08.2021, 15:58

Bond31

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Dann kommt insgesamt 20/6 raus? Big Laugh

01.08.2021, 16:10

klauss

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RE: Simpson-Regel
Na bitte, das ist doch schon in der Nähe von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ .

Mit derselben Näherungsformel könntest Du jetzt
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! \frac{4}{1+x^{2} } \, dx \end{eqnarray*}$
berechnen und dann erklären, warum das hier auch erlaubt ist.

01.08.2021, 17:05

Bond31

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Warum es hier nicht erlaubt ist weiss ich nicht ? Big Laugh

Hier Rechnung

01.08.2021, 17:25

klauss

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RE: Simpson-Regel
Auch hier befindet sich ein Rechenfehler. Zumindest im Endergebnis hätte es Dir auffallen müssen, denn wenn die Berechnung gleichwertig sein soll, muß ja wieder was nahe $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ rauskommen.

$\begin{eqnarray*} 4 \cdot f\left(\frac{1}{2} \right) = 4\cdot \left[\frac{4}{1+\left(\frac{1}{2} \right)^{2} }\right] =~? \end{eqnarray*}$

01.08.2021, 17:32

Bond31

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Ich verstehe leider nicht wieso du da 1/2 einsetzt?

In deiner ersten Formel steht doch 4f * ( (a+b)/2 ) = 4f * ( (0+1)/2 ) ?

01.08.2021, 17:40

klauss

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RE: Simpson-Regel
Die Formel ist nicht "4f mal irgendwas", sondern "4 mal f an der Stelle ...".*
In f ist der Mittelwert der Integrationsgrenzen einzusetzen.
Da hapert es jetzt aber an unnötigen Stellen.

* Ich habe den Malpunkt jetzt oben noch eingefügt.

01.08.2021, 17:47

Bond31

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Jetzt verstehe ich es Big Laugh

Als Ergebnis kommt 46/30 jetzt raus .

Das war die Aufgabe oder wie ?
Die ursprüngliche Aufgabe haben wir ja gelöst

01.08.2021, 17:57

klauss

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Zitat:

Als Ergebnis kommt 46/30 jetzt raus .

Nein, bei mir kommt 47/15 raus. Das ist eine bessere Näherung als beim 1. Teil.

Zur Erklärung:
Stichwort Integration gerader und ungerader Funktionen über ein (zu 0) symmetrisches Intervall.

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1} \! \frac{2}{1+x^{2} } +x \, dx = \int_{-1}^{1} \! \frac{2}{1+x^{2} } \, dx + \underbrace{\int_{-1}^{1} \! x \, dx }_{=~0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1} \! \frac{2}{1+x^{2} } \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{1} \! \frac{2}{1+x^{2} } \, dx \end{eqnarray*}$

01.08.2021, 18:15

Bond31

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Danke .
Soll ich irgendwas rechnerisch für die Aufgabe noch machen ?

Habe noch eine Aufgabe
Hast du Ahnung?
Soll ich hier wieder die gleiche Formel anwenden ?

01.08.2021, 18:25

klauss

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Die 1. Aufgabe sollte damit erledigt sein.

Auch bei der neuen Aufgabe läßt sich mit der gleichen Formel alles schön auswerten.

01.08.2021, 18:32

Bond31

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Das wars?
Hoffe das kein Fehler drin ist Big Laugh

01.08.2021, 18:44

klauss

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Zitat:

Hoffe das kein Fehler drin ist

Doch ... schon wieder:
$\begin{eqnarray*} 4\cdot \textcolor{red}{f}\left(\frac{1}{2} \right)=4\cdot \frac{1}{2} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2} \right) \end{eqnarray*}$

ABER: Diesmal ändert sich rein zufällig nichts am Ergebnis.

01.08.2021, 19:04

Bond31

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oh man immer der gleiche Fehler

Hast du auch tipps wie man das bei einer Trapezformel macht ?

01.08.2021, 19:22

klauss

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RE: Simpson-Regel
Gemäß Skript ist dann die Formel zu benutzen
$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{2} \cdot \left[f(a)+f(b) \right] \end{eqnarray*}$

Das ist zunächst wieder nur - richtig - einsetzen und ausrechnen.

Mit einer Fehlerabschätzung müßte ich mich gesondert beschäftigen, was ich aber nicht mehr schaffe, da ich heute keine Zeit mehr habe.
Falls Du weitere Aufgaben hast, solltest Du daher jeweils ein neues Thema aufmachen.

01.08.2021, 19:40

Bond31

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ok .Kannst ja dich auch morgen melden falls du Lust hast

01.08.2021, 19:55

klauss

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RE: Simpson-Regel
Lust schon ... Werde aber die nächsten Tage wieder stark eingespannt sein, weshalb es wahrscheinlich nicht geht. Wink

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