Komplexe Zahlen = Minimaler Abstand?

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Verrain Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlen = Minimaler Abstand?
Wenn ich mir die Funktion anschaue und mal plotte, dann ist es offen sichtlich, dass es keine sinnvolle Frage sein kann, nach der Nullstelle dieser Funktion zu fragen.

Dennoch ist mir aufgefallen, dass unmittelbar auf führt und dass dann dem minimalen Abstand zwischen der x-Achse und der Funktion darstellt. Man könnte dies auch als einen imaginären Schnittpunkt mit der x-Achse interpretieren.

Ich hab das Spiel mal weiter getrieben und habe 2 Funktionen genommen:
und

Beide Funktionen besitzen keinen Schnittpunkt, aber wenn ich sie gleichsetze:




und nach auflöse, komme ich auf

Wenn ich das Extremum von bestimme, also obige Funktion ableite und Null setze:


komme ich auf und .

4.75 ist aber gerade gleich dem Betrags des Quadrats des Imaginärteils .

Das heißt in der komplexen Zahl stecken bereits die Information für die Stelle an dem der Abstand minimal wird (der Realteil) und die Information des Werts des minimalen Abstands (der Imaginärteil). Auch hier könnte man von einem imaginären Schnittpunkt zwischen und reden, die sich ja real nicht schneiden.

Können die komplexen Zahlen und "Abstand zwischen Funktionen" somit generell als eine Verallgemeinerung von Schnittpunkten interpretiert werden? (Ich weiß, dass die Nullstelle einer komplexen Funktion wiederum etwas anderes ist, aber darum geht es hier nicht). Hat dies irgendwo eine weitere mathematische/naturwissenschaftliche Bedeutung?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe dein Experiment einmal mit beliebigen quadratischen Funktionen durchgeführt:



Hierbei seien fest gewählte Parameter, für die Variable gelte . Zusätzlich nehmen wir an. Dann führt auf die quadratische Gleichung



Sie soll keine reellen Lösungen besitzen. Ihre Diskriminante muß daher negativ sein.



Die Lösungen der Gleichung sind dann



Du hast nun für reelles betrachtet. Als reelle quadratische Funktion besitzt diese Funktion ein globales Extremum, und zwar an der Stelle , für die gilt. Dieses wird nun bestimmt:



Und tatsächlich, dieses ist der Realteil von in . Setzt man es in ein, erhält man



Das Quadrat des Imaginärteils in ist hingegen



Und wie man sieht, stimmen und nicht überein. Die Zähler sind zwar gleich, nicht jedoch die Nenner.

Die Rechnung funktioniert auch, wenn quadratisch und linear ist. Man muß dann setzen. Und wenn man zusätzlich noch nimmt (das war genau dein Fall), dann gilt tatsächlich .

EDIT
Falschen Wert für a getilgt.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hoffe, es ist aus Leopolds Beitrag klar geworden, dass das nur für sehr spezielle Funktionen funktioniert. Nur um das noch einmal hervorzuheben, schreibe ich aber nicht diesen Beitrag.

Ich möchte etwas zu diesem Absatz schreiben:

Zitat:
Wenn ich mir die Funktion anschaue und mal plotte, dann ist es offen sichtlich, dass es keine sinnvolle Frage sein kann, nach der Nullstelle dieser Funktion zu fragen.


Du hast hier keine Funktion angegeben, sondern nur eine Abbildungsvorschrift. Wenn du hier zusätzlich den Definitions und Wertebereich vorgibst, stimmt die Behauptung schon, das gehört aber mit dazu!
Zu sagen, dass die Frage nach Nullstellen einer Abbildungsvorschrift keinen Sinn ergibt, ist natürlich richtig. Ist dir aber bewusst, dass es genauso wenig Sinn ergibt, nach den Nullstellen von zu fragen?

Dass es generell keinen Sinn ergibt, nach Nullstellen einer Abbildung zu fragen, nur weil man auf einem reellen Plot nichts sieht, ist ein bisschen so, als würde man sagen. Eine Funktion mit der Abbildungvorschrift mit der Abbildungsvorschrift hat sicher keine Nullstellen, schließlich habe ich mir diesen Plot angesehen:
.

Ja, auf diesem Plot ist nichts, daraus kann man aber nur schließen, dass die Funktion keine Nullstellen hat. Die Funktion hat schon welche, wie man zum Beispiel mit diesem Plot sieht:

.

Mit den komplexen Zahlen ist es genau so: natürlich sieht man die nicht auf einem Plot mit nur reellen Zahlen.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Guppi12
Mit den komplexen Zahlen ist es genau so: natürlich sieht man die nicht auf einem Plot mit nur reellen Zahlen.

Erhebt man sich dagegen von der schnöden reellen Zahlengerade in die bunte komplexe Ebene, erkennt man die unendlich vielen Nullstellen:

[attach]53429[/attach]

Viele Grüße
Steffen
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ Steffen Bühler

Wovon soll denn das der Plot sein? Eines der in den vorigen Beiträgen vorkommenden Polynome kann es nicht sein. Denn ein solches hat nur endlich viele Nullstellen. Und nicht einmal holomorph kann die Funktion sein, denn dann lägen die Nullstellen diskret.
Um welche Abbildung handelt es sich also?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist für komplexe x, deren Real- und Imaginärteil jeweils von bis geht.

Auf der reellen Achse sieht man "von oben" wunderschön die Parabel



Die erwähnten Nullstellen bei sind ebenfalls zu sehen. Aber es gibt eben noch viel mehr Lösungen für .
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »



Irgendetwas verstehe ich hier nicht. Wie kann diese Gleichung unendlich viele Lösungen besitzen?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich hast Du recht. Lass mich morgen noch mal prüfen, was ich da eingegeben habe. Obwohl das Bild recht hübsch aussieht...

Wahrscheinlich hat mir mein CAS mal wieder einen Streich gespielt (oder ich ihm).
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Der Fehler lag natürlich zwischen Monitor und Stuhllehne. Und dass ich mich von der grafischen Schönheit habe blenden lassen.

Dargestellt war lediglich der Realteil der Funktion. Also:





Natürlich ist der korrekte Betrag nicht minder hübsch. Hier der Vollständigkeit halber auch noch dieser Plot mit den zwei zu erwartenden Nullstellen:
[attach]53438[/attach]

Viele Grüße
Steffen
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

@Steffen: Danke für die Darstellung!
Habe mich schon oft gefragt, wo diese ominösen komplexen Nullstellen eigentlich sind.

Noch schöner wäre eine 3D-Darstellung.

PS: Sehe gerade, dass "Mathematik-Alpha" das kann.

[attach]53439[/attach]
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, bei meinem Mathcad kann man auch auf "Surface" umschalten:
[attach]53440[/attach]

Sowas hat mich schon immer fasziniert. Wenn ich etwas mehr Ahnung von Computergrafik hätte, würde ich zum Beispiel die Juliamengen im Bereich des Seepferdchen-Tals von der Mandelbrotmenge als Bild an die Wand hängen.

Wunderschön ist auch das Gebirge der Zeta-Funktion:
[attach]53441[/attach]

Und wenn man dann in den kritischen Streifen zoomt und die Nullstellenbereiche als kleine Seen einfärben würde sowie etwas Wald und Schnee auf die Berge, wäre das eine herrliche Traumlandschaft:
[attach]53442[/attach]

Das hier war jetzt ein (von mir erzeugtes) Zeta-"Bild" mit Graustufen, das vom ImageJ-3D-Plugin als beleuchtete farbige Oberfläche dargestellt wird.

Viele Grüße
Steffen
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