Greshgorin-Kreis

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Lenny33x Auf diesen Beitrag antworten »
Greshgorin-Kreis
Hallo Leute ich habe nochmals die Aufgabe gespostet obwohl es viel Kritik gab .
Ich poste die Aufgabe nochmal .
Falls jemand Interesse hat und Tipps geben kann wäre ich dankbar.
Ich kann gerne nachdem man mir paar Tipps geben Ansätze posten.
Leider habe ich bisher keine Ansätze
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe keine Ahnung, was ein Greshgorin-Kreis ist. Was mache ich also? Ich schaue auf Wikipedia nach. Und dort steht, daß die Diagonalelemente die Kreismittelpunkte bilden, während die Summe der Beträge der restlichen Elemente in der Zeile, in der das Diagonalelement steht, den Kreisradius angibt. (Offenbar gibt es auch Greshgorin-Kreise für Spalten, aber ich mache das jetzt einmal für Zeilen. Du mußt in deinem Skript schauen, wie es da festgelegt ist.)




Mittelpunkt:
Radius:


Mittelpunkt:
Radius:


Mittelpunkt:
Radius:

So, das war jetzt gegen das Board-Prinzip eine Musterlösung. Es soll dir als Ansporn dienen, die restlichen Aufgabenteile entsprechend zu erledigen: Begriffe nachschauen, Beispiele nachvollziehen, Aufgaben rechnen.
Lenny33x Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt versucht das z^1 zu berechnen mit der Formel siehe Anhang ,aber was mache ich jetzt weiter ?
Was hat es mit dem Betrag unendlich auf sich?
Papuga Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Lenny,
die Unendlichkeitsnorm: https://de.wikipedia.org/wiki/Maximumsnorm eines Vektors ist das betragsmäßig größte Element eines Vektors:

Beispiel:
Wenn dann ist


Ich würde dir auch empfehlen konkret auszurechnen. Das Ergebnis ist: mit geheimnisvollen Fragezeichen zum selber nachrechnen smile
Lenny33x Auf diesen Beitrag antworten »

Ich war gerade dabei meine Rechnung ein wenig zu korrigieren .
Habe aber auch nicht verstanden wie man dieses z^°(1) berechnet ?
Verstehe das nicht

Ich verstehe auch nicht so genau von welchem Wert im Vektor man den Betrag von unendlich nimmt?
Woher weiss man das ?
Papuga Auf diesen Beitrag antworten »

sry, Ich hatte in der Matrix A einen falschen Eintrag abgeschrieben, dein stimmt. Die Lösung von ist: zur Korrektur.

Für die Unendlichkeitsnorm: ganz einfach: Du suchst das betragsmäßig größte Element eines Vektors. Das ist dann deine Norm.
 
 
Lenny33x Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es mal probiert auszurechnen .
Aber ich bekomme was ganz anderes raus?
Ich habe im Skript auch dazu nix gefunden
Papuga Auf diesen Beitrag antworten »

der Vektor ist : . Was von den drei Zahlen im Vektor ist denn betragsmäßig am größten? Richtig: die 3. Daher ist die Unendlichkeitsnorm von . Du hast hier die Unendlichkeitsnorm von gebildet.
Lenny33x Auf diesen Beitrag antworten »

Wie sieht es jetzt aus?

Was soll ich im Nenner mit dem Betrag von z^1 genau machen?
Lenny33x Auf diesen Beitrag antworten »



Hatte aus versehen Kreuzprodukt genommen

Jetzt das Skalarprodukt :

Was mache ich mit dem Nenner ?
Papuga Auf diesen Beitrag antworten »

Du würfelst hier und durcheinander. Dein und nichts anderes. Jetzt ist noch der Rayleigh-Quotient aus der ersten Iteration gefragt.

Der Rayleigh Quotient (=Näherung des Eigenwerts, zur dazugehörigen Eigenvektornäherung ), ist definiert als:


In deinem Fall der ersten Iteration ist das also:


Ich weiß nicht ganz was du da gerechnet hast beim Rayleigh Quotienten
Lenny33x Auf diesen Beitrag antworten »

Hier der nächste Versuch .
Die Lösung vielleicht auch für jemand anderen der sie braucht Big Laugh
Lenny33x Auf diesen Beitrag antworten »

Ich probiere jetzt die c)

u =1
z0 = (-1.1,-2)


B = ( A+ 1*I )^-1

Kannst du mir sagen was ich für I einsetzen soll?

Das z0?
Papuga Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lenny33x
Hier der nächste Versuch .
Die Lösung vielleicht auch für jemand anderen der sie braucht Big Laugh


Das stimmt noch nicht, auf dem oberen Bruchstrich sollte der rechte Vektor sein, aber hast du stehen. Herauskommen sollte beim Rayleigh-Quotient:

Ich brauch jetzt erstmal ne Pause
Lenny33x Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme immer noch nicht auf das Ergebnis unglücklich

Hier meine Rechnung .
Erkenne den Fehler nicht ?
LennyBaby Auf diesen Beitrag antworten »

Wisst ihr wo mein Fehler liegt?
Papuga Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe schon geschrieben wo der Fehler liegt. Einfach mal aufmerksam durchlesen bzw. nochmal ganz genau die Definition von Rayleigh Quotienten anschauen bitte.
Lenny33x Auf diesen Beitrag antworten »

Die Vektoren habe ich doch korrigiert ?
Papuga Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lenny33x
Die Vektoren habe ich doch korrigiert ?


Nein, ist immer noch falsch. Wie gesagt, der rechte vektor oben auf dem bruchstrich muss sein.
Lenny33x Auf diesen Beitrag antworten »

Az0 = (3,-2,-1)

Az(1)=( -15,-4,11)

Irgendwas gerät hier durcheinander .
Schau bitte in meinem 2ten post da ist Az(1) =( -15,-4,11).


??
Papuga Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lenny33x
Az0 = (3,-2,-1)

Az(1)=( -15,-4,11)

Irgendwas gerät hier durcheinander .
Schau bitte in meinem 2ten post da ist Az(1) =( -15,-4,11).


??


Nochmal ganz ausführlich:


Daher berechnet sich zu:


Wie leicht nachzurechnen ist:


Daher ist der Rayleigh-Quotient in der ersten Iteration:


Ausführlicher kann Ich es nicht mehr machen. Wenn das nicht verständlich ist kann Ich leider nicht mehr weiterhelfen.
Lenny33x Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke ,da hatte ich wohl auch irgendwo einen kleinen Fehler Big Laugh

Rechne mal nach
Lenny33x Auf diesen Beitrag antworten »

Hatte fast die c) vergessen Big Laugh

Habe das B berechnet .
Wie gehe ich jetzt hier weiter vor ?
Lenny33x Auf diesen Beitrag antworten »

Habt ihr Tipps ?
Lenny33x Auf diesen Beitrag antworten »

Jemand da?
Moonshine Auf diesen Beitrag antworten »

Also, versuchen wir’s nochmal. Damit es hier mal weitergeht: Du hast B noch nicht berechnet, denn du hast das hoch -1 in der letzten Zeile vergessen. Die Rechnung geht also noch weiter.
Lenny33x Auf diesen Beitrag antworten »

Inverse von B?
Moonshine Auf diesen Beitrag antworten »

Yes! Freude
lenny33x Auf diesen Beitrag antworten »

Hier die Inverse

Wie gehe ich jetzt allerdings weiter vor ? Big Laugh
Moonshine Auf diesen Beitrag antworten »

Unten links in der Matrix hast du 1/6 geschrieben, aber ich denke, du meintest 1/8. Sonst stimmt alles.

Na ja, du machst jetzt das Gleiche wie in b), nur eben jetzt mit der Matrix und dem neuen Startvektor.
Lenny33x Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist die c)?
Moonshine Auf diesen Beitrag antworten »

Dein stimmt, das war Aufgabe c).

Der Rest stimmt nicht. Du hast hier den Vektor aus b) genommen, das gilt hier natürlich nicht mehr, wir haben ja jetzt ein anderes Verfahren. Du musst hier im Zähler des Rayleigh-Koeffizienten zuerst das Matrixprodukt von A mit deinem neuen Vektor aus c) berechnen, dann das Skalarprodukt. Der Nenner stimmt aber. Als Endresultat sollte dann 5/3 herauskommen.
lenny33x Auf diesen Beitrag antworten »

Soll ich den neuen Vektor der inverse ausrechnen ?
Moonshine Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, ich bin mir nicht ganz sicher, was du damit meinst. Wie ich schon schrieb, du muss das Matrixprodukt von A mit deinem berechneten Vektor aus c) berechnen, danach mit dem Ergebnisvektor das Skalarprodukt mit dem Vektor . Also genau die gleiche Rechnung wie in b), nur eben jetzt mit dem neuen Vektor .
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