Geometrische Reihe Spezialfall

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Tommy1234 Auf diesen Beitrag antworten »
Geometrische Reihe Spezialfall
Meine Frage:
Hallo, kurze Frage zu einem Spezialfall einer konvergenten geometrischen Reihe.
Eine Reihe von Kehrwerten der Quadratzahlen also 1,2,4,8 (2^0+2^1+..) deren Summe 2 ist.



Meine Ideen:
Wird um auf die 2 zu kommen der lim gebildet? Denn das ergebnis (von den genannten) ist ja 15/8.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geometrische Reihe Spezialfall
Zitat:
Original von Tommy1234
Eine Reihe von Kehrwerten der Quadratzahlen also 1,2,4,8 (2^0+2^1+..) deren Summe 2 ist.

Gemeint ist wohl eher die Summe der Kehrwerte von 2er-Potenzen.

In der Tat hat die Summe den Grenzwert 2. smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Vermutlich meinst du nicht die Quadratzahlen 1,4,9,16,..., sondern die Zweierpotenzen 1,2,4,8,... Die geometrische Reihe über deren Kehrwerte hat den Wert 2:



Da steckt in der Tat ein Grenzwert dahinter. Zur 2 fehlt immer genau der Summand, den man zuletzt addiert hat:













adiutor62 Auf diesen Beitrag antworten »

vgl:
https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geometrische Reihe Spezialfall
Zitat:
Original von Tommy1234
Wird um auf die 2 zu kommen der lim gebildet?


Diese Reihe ist eine der anschaulichsten. Ich kopier mal einen ganz ganz alten Beitrag von mir herüber:

Du hast 1 Blatt Papier mit der Fläche 1. Dies zerschneidest Du in 2 Hälften, eine Hälfte legst Du beiseite.
Du hast jetzt: 1/2 + 1/2
Die andere Hälfte schneidest Du in 2 Hälften.
Du hast jetzt: 1/2 + 2 * 1/4
Ein Viertel legst Du beiseite, das andere Viertel schneidest Du wieder in 2 Hälften:
Du hast jetzt: 1/2 + 1/4 + 2 * 1/8
Ein Achtel legst Du beiseite, das andere Achtel schneidest Du in 2 Hälften usw. usw.
Könntest Du das unendlich oft durchführen, entspräche das Ergebnis der Reihe

Alle Teile zusammengesetzt ergäben aber wieder ein Blatt Papier mit der Fläche 1.

Läßt man die Reihe bei k=0 beginnen, kommt natürlich noch der Summand 1 dazu.

-------------------

Fleißaufgabe: Wie oft muß man schneiden, bis die beiseitegelegten Teile aufeinandergestapelt bis zum Mond reichen?
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