Wann gibt es bei einer Markovkette keine stationäre Verteilung?

05.08.2021, 13:46

Morla_die_Kröte

Wann gibt es bei einer Markovkette keine stationäre Verteilung?

hey,

mach grad mit markov ketten rum. in unserem schulbuch habe ich etliche aufgaben gerechnet, jedesmal war es quadratische stochastische übergangsmatrix A, jedes mal konnte ich die stationäre verteilung mit A mal x = x ausrechnen.

meine frage dazu, gibt es überhaupt solche ketten ohne stationäre verteilung und wenn ja, wie erkenne ich das möglichst einfach?

morla

05.08.2021, 14:12

HAL 9000

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Reden wir von Ketten mit endlichem Zustandsraum? Solche besitzen immer mindestens eine stationäre Verteilung.

Anders sieht es aus mit unendlichem Zustandsraum: Z.B. besitzt die Markovkette auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit Ü-Wkt

$\begin{eqnarray*} p_{i,j} = \begin{cases} 1 &\;\mbox{für}\;j=i+1\\ 0 &\;\mbox{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

keine stationäre Verteilung.

05.08.2021, 23:15

Kröte_Morla

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diese darstellung ist leider nicht die aus meinem gymi-mathebuch.

aber es gibt dann wohl in meinen aufgaben wohl immer einen endlichen zustandsraum, denn bei jeder stochastischen ü-matrix A hat sich, wenn ich mit mit einem alten matrixfähigen taschenrechner simuliert habe: A^n (wenn n gegen unendlich geht) immer eine grenzmatrix gebildet, bei der alle spalten gleich waren und jede spalte die stabile / stationäre verteilung darstellte.

danke für die antwort,

morla die kröte

06.08.2021, 11:29

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kröte_Morla
denn bei jeder stochastischen ü-matrix A hat sich, wenn ich mit mit einem alten matrixfähigen taschenrechner simuliert habe: A^n (wenn n gegen unendlich geht) immer eine grenzmatrix gebildet, bei der alle spalten gleich waren

Das stimmt nicht, einfaches Gegenbeispiel:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Hier ist abwechselnd $\begin{eqnarray*} A^n=A \end{eqnarray*}$ (für ungerade $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ) sowie $\begin{eqnarray*} A^n=I \end{eqnarray*}$ Einheitsmatrix (für gerade $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ), d.h., keine Konvergenz. Dennoch gibt es eine stationäre Verteilung, nämlich $\begin{eqnarray*} p = \begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , die sich aber eben nicht durch so einen Matrixgrenzwert darstellen lässt. unglücklich

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Anscheinend bringst du zwei Dinge durcheinander: Es sei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine stochastische Matrix.

(1) $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ sei eine Verteilung derart, dass für alle Startverteilungen $\begin{eqnarray*} p_0 \end{eqnarray*}$ die Gleichung $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} A^n p_0 = p \end{eqnarray*}$ gilt.

(2) $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ sei eine stationäre Verteilung für $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , d.h., es ist $\begin{eqnarray*} Ap = p \end{eqnarray*}$ .

Aus (1) folgt (2), aber die Umkehrung gilt NICHT.

06.08.2021, 12:46

Kröte_Morla

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@hal thx für diese infos, die mir genau die fragen beantwortet haben, die weder mein mathelehrer noch mein mathebuch beantworten konnten.

und noch was am rand: bei den markov-ketten ist die darstellung für die hochschulen (hab in der bücherei gestöbert) ne völlig andere als die in unseren büchern: die stationäre verteilung heißt PI und ist ein zeilenvektor (bei uns ein spaltenvektor) und die ü-matrix ist die transponierte von unserer ... nicht grad erhellend.

kröte morla

06.08.2021, 13:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kröte_Morla
und noch was am rand: bei den markov-ketten ist die darstellung für die hochschulen (hab in der bücherei gestöbert) ne völlig andere als die in unseren büchern: die stationäre verteilung heißt PI und ist ein zeilenvektor (bei uns ein spaltenvektor) und die ü-matrix ist die transponierte von unserer ... nicht grad erhellend.

Da gibt es verschiedene Ansichten für die Darstellung, die zwar inhaltlich äquivalent sind, aber eben dann in solche Unterschiede wie Zeilen- oder Spaltenverktoren und evtl. transponierte Matrizen münden. In meiner Darstellung oben habe ich in der Eile dann auch einen Fehler gemacht:

Zitat:

(1) $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ sei eine Verteilung derart, dass für alle Startverteilungen $\begin{eqnarray*} p_0 \end{eqnarray*}$ die Gleichung $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left(A^T\right)^n p_0 = p \end{eqnarray*}$ gilt.

(2) $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ sei eine stationäre Verteilung für $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , d.h., es ist $\begin{eqnarray*} A^Tp = p \end{eqnarray*}$ .

Oder man schreibt es eben mit Zeilenvektoren $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_0 \end{eqnarray*}$ , dann sieht es so aus:

Zitat:

(1) $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ sei eine Verteilung derart, dass für alle Startverteilungen $\begin{eqnarray*} p_0 \end{eqnarray*}$ die Gleichung $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} p_0 A^n = p \end{eqnarray*}$ gilt.

(2) $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ sei eine stationäre Verteilung für $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , d.h., es ist $\begin{eqnarray*} pA = p \end{eqnarray*}$ .

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