Produkt, das kein Quadrat ist

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ichwarneu Auf diesen Beitrag antworten »
Produkt, das kein Quadrat ist
Guten Tag,

ich überlege gerade an folgender Aussage:
Zitat:
Seien und verschiedene Primzahlen und sei eine natürliche Zahl, die kleiner als das Produkt der beiden Primzahlen ist. Dann ist kein Quadrat.


Meine Idee:
Nehme obda an, sein ein Teiler von . Dann kann kein Teiler sein, da dann größergleich dem Produkt wäre.
Schreibe für eine natürliche Zahl k.
Dann ist
Damit dieser Ausdruck ein Quadrat ist, muss ein Quadrat sein und damit für ungerades und damit folgt . Widerspruch.

Ist das so ok?
und wie gehe ich die Richtung an, dass keine der Primzahlen ein Teiler von ist?

Vielen Dank
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Kurzer Beweis: Widerspruch
ichwarneu Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Elvis,

ich kann gerade der ersten Implikation nicht folgen. Ist da vielleicht ein Schreibfehler?

Edit: Ah, nein, ich glaube ich habe verstanden.
Nehmen wir an, wäre eine Quadratzahl .
Es ist dann mit .
Ist das so gemeint?
Den Widerspruch sehe ich ein.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
Um den Beweis im Detail zu verstehen kann man benutzen, dass für jede Primzahl gilt , also
Im zweiten Schritt muss man nur noch durch dividieren.
ichwarneu Auf diesen Beitrag antworten »

Super, dann hab ich das verstanden. Vielen Dank für die Hilfe!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Anmerkung: ist die Definition für Primelemente in Ringen, insbesondere also die Definitiion für ganzrationale Primzahlen .
Wenn diese Definition noch nicht bekannt ist, kann man die Aussage aus der (bis auf Einheiten und Reihenfolge) eindeutigen Primzahlzerlegung ganzrationaler Zahlen herleiten.
 
 
ichwarneu Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr interessat. Danke für den Hinweis (und für alle anderen natürlich auch Augenzwinkern )
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