Herleiten einer Kreisformel

06.08.2021, 22:13

beyaz

Herleiten einer Kreisformel

Hallo,

ich versuche schon seit ne Weile ne Funktion herzuleiten, mit der ich die Höhe an einer beliebigen Stelle x bestimmen kann. Ich bekomme es nicht ganz hin. Kann mir da jemand weiterhelfen

Gegeben sind: h1, h2, X und R.

06.08.2021, 23:09

klauss

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RE: Herleiten eines Kreisformels
Da ließe sich wohl was machen.
Zur Klarstellung:
Soll man also aufgrund des Titels davon ausgehen, dass die gekrümmte Linie ein Kreisbogenstück darstellt?
Und soll R dann folglich der Kreisradius sein?

Bitte gib die bekannten 4 Zahlenwerte an, damit bequem losgerechnet werden kann.

06.08.2021, 23:22

beyaz

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RE: Herleiten eines Kreisformels
Genau, es ist ein kreisbogenstück. Es soll die allgemeine Funktion h(x) hergeleitet werden. Ich werd einfach ned schlau draus. Habe mir alle Kreisformln angesehen und versucht es herzuleiten aber geht nicht.

06.08.2021, 23:26

klauss

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RE: Herleiten eines Kreisformels
Ok, daher:

Zitat:

Bitte gib die bekannten 4 Zahlenwerte an, damit bequem losgerechnet werden kann.

Ich möchte nämlich beim Rechnen nicht lauter Parameter mitschleppen.

07.08.2021, 09:07

Leopold

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In der Zeichnung sieht es so aus, als würde $\begin{align*} h_2 \end{align*}$ in den Nordpol des Kreises einmünden. Das wäre eine wichtige Zusatzinformation. Im übrigen ist mir nicht klar, was gegeben und was gesucht ist. Da wird x mal groß, mal klein geschrieben. Ist das Versehen oder Absicht? Die Aufgabenstellung sollte daher noch genauer geklärt werden.

07.08.2021, 09:28

beyaz

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Gegen ist die Höhe h1 und h2 sowie die Gesamtlänge X und R d.h. Radius (keine Zahlenwerte vorhanden).
Gesucht ist eine Funktion mit der sich die Höhe an einer beliebigen Stelle in Abstand x ermitteln lässt.

Ob h2 in den Nordpol des Kreises einmündet weiß ich nicht. Steht nicht in der Aufgabenstellung, aber ja, sieht optisch so aus.

07.08.2021, 11:17

klauss

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RE: Herleiten einer Kreisformel
An den Nordpol hatte ich auch gedacht, aber optisch habe ich da Zweifel. Sollte jedenfalls nicht unterstellt werden und zunächst auch nicht ausschlaggebend sein. Ich rechne jetzt auf Grundlage eines angepaßten Bildes.

[attach]53456[/attach]

07.08.2021, 12:49

beyaz

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RE: Herleiten einer Kreisformel
Also habe mich gerade nochmal ne dreiviertel Stunde hingesetzt aber ohne Erfolg. Irgendwie glaube ich dass Irgend ne Angabe fehlt.

07.08.2021, 13:02

klauss

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RE: Herleiten einer Kreisformel
Nach einiger Schreibarbeit habe ich zumindest meinen Ansatz verifiziert.
Die einfachste Gleichung, die ich hier für den oberen Halbkreis angeben kann, wäre

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{R^{2}-\left(x-x_{M} \right)^{2} }+\frac{X^{2} +Y^{2}-2X\cdot x_{M} }{2Y} \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} Y=h1-h2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{M}= \end{eqnarray*}$ x-Koordinate des Kreismittelpunkts

ABER:
Dieses $\begin{eqnarray*} x_{M} \end{eqnarray*}$ sollte man nun eigentlich mit festen Zahlenwerten ausrechnen, es als Formel anzugeben, fände ich momentan unzumutbar.

Zum Weg:
Wenn die 2 Punkte (0|0) und (X|Y) auf dem Kreis liegen und der Radius bekannt ist, hat man die Gleichungen
I) $\begin{eqnarray*} x_{M}^{2} +y_{M}^{2} =R^{2} \end{eqnarray*}$
II) $\begin{eqnarray*} \left(X-x_{M} \right)^{2} +\left(Y-y_{M} \right)^{2} =R^{2} \end{eqnarray*}$

Damit kann man eine Kreismittelpunktskoordinate durch die andere ausdrücken und konkret ausrechnen.
Die andere Kreismittelpunktskoordinate ergibt sich dann durch Einsetzen.

Ich habe mit folgenden Werten getestet:
$\begin{eqnarray*} X=15,3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Y=1,1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} R=50 \end{eqnarray*}$

[attach]53457[/attach]

07.08.2021, 15:52

beyaz

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RE: Herleiten einer Kreisformel
hey Klauss,
danke für die ausführliche Antwort.
Und ja, es ist genau das was ich gesucht habe. Danke dir vielmals.

07.08.2021, 16:35

klauss

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RE: Herleiten einer Kreisformel
Gern.

08.08.2021, 12:45

riwe

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RE: Herleiten einer Kreisformel
mit l = X könnte man eventuell für die Koordinaten des Mittelpunktes M(m/n) erhalten:

$\begin{eqnarray*} s=\sqrt{l^2+(h_1-h_2)^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t=\frac{\sqrt{4r^2-s^2}}{2s} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m=\frac{l}{2}+t\cdot(h_1-h_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n=\frac{h_1-h_2}{2}-t\cdot l \end{eqnarray*}$

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