Metrischer Raum

06.08.2021, 22:59	Dominik111	Auf diesen Beitrag antworten »
Metrischer Raum Meine Frage: Es sei $\begin{eqnarray} M=(0,\infty) \end{eqnarray}$ Zeigen Sie, dass durch $\begin{eqnarray} d(x,y)=\|ln(x)-ln(y)\| \end{eqnarray}$ eine Metrik auf M gegeben ist. Ist M kompakt? Meine Ideen: Gezeigt habe ich, dass (M,d) ein metrischer Raum ist. Ich würde aber sagen, dass M nicht kompakt ist, da das Intervall $\begin{eqnarray} (0,\infty) \end{eqnarray}$ als Teilmenge der reellen Zahlen nicht abgeschlossen ist, oder?
06.08.2021, 23:07	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Abgeschlossenheit ist eine Eigenschaft, die sich auf die gegebene Metrik bezieht, das heißt du kannst hier keine Ergebnisse nutzen, die du von der bekannten Metrik auf $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ kennst. Der gesamte Raum ist allerdings immer abgeschlossen, das ist hier also nicht das Problem. Beachte auch, dass der Satz von Heine-Borel nicht anwendbar ist. Tipp: Zeige, dass die Folge $\begin{eqnarray} (n)_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray}$ keine konvergente Teilfolge hat. Eine andere Möglichkeit wäre, folgenden allgemeinen (aber einfach zu beweisenden) Satz zu beweisen: Sei $\begin{eqnarray} (X, d) \end{eqnarray}$ ein metrischer Raum und $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ eine Menge. Für eine Bijektion $\begin{eqnarray} f:M\to X \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} d_f:M\times M\to[0, \infty), (x,y)\mapsto d(f(x), f(y)) \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} (M, d_f) \end{eqnarray}$ ein metrischer Raum und $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ eine Isometrie. Das könnte man hier geeignet anwenden und nutzen, dass bei obigen Voraussetzungen X genau dann kompakt ist, wenn es M ist.

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