Parameterform mit trigonometrischen Funktionen in kartesische Form umwandeln

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Eldar Auf diesen Beitrag antworten »
Parameterform mit trigonometrischen Funktionen in kartesische Form umwandeln
Ich habe die folgende parametrische Form einer Kurve:





Ist es möglich, eine kartesische (polynomähnliche) Form in und aus der oben gegebenen parametrischen Form herzuleiten (sprich das zu eliminieren)?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Parameterform mit trigonometrischen Funktionen in kartesische Form umwandeln
Das dürfte nicht möglich sein. Eine polynomähnliche Form ist definitiv ausgeschlossen, da die Parameterdarstellung zwar eine Kurve definiert, aber keine Funktion .
Eldar Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Parameterform mit trigonometrischen Funktionen in kartesische Form umwandeln
Hallo Huggy - vielen Dank für Deine Antwort. Mit "polynomähnlich" meinte ich auch Formen wie beispielsweise . Ist es unmöglich, eine solche Form zu bekommen?

Wie könnte man formal zeigen, dass sich nicht eliminieren lässt?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Parameterform mit trigonometrischen Funktionen in kartesische Form umwandeln
Eim formaler Beweis dürfte schwierig sein. Jedenfalls übersteigt er meine Fähigkeiten. Trotzdem bin ich überzeugt, dass es auch keine solche Form gibt.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Möglicherweise alleine schon deswegen:

[attach]53459[/attach]



mY+
Eldar Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für den Hinweis!

Haben wir denn eine Chance, wenn wir einschränken?
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Der Bereich von t dürfte dafür nicht ausschlaggebend sein.
Der Parameter (t) ist zunächst algebraisch nicht darstellbar, wenn im Zähler der Brüche Polynom- und Winkelfunktionen gemischt auftreten.

Möglicherweise ist durch eine gemeinsame Operation (Division*,...) von x(t) und y(t) eine implizite Gleichung erzielbar, das ist aber eher unwahrscheinlich.

(*) .. führt auf cot-Kurven

mY+
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

@mYthos

Plots haben haben auch meine Überzeugung gestärkt, dass eine implizite Darstellung der Kurve durch eine Polynomgleichung



nicht möglich ist. Aber ein Plot ist nun mal kein Beweis. Abgesehen davon scheint mir dein Plot nicht korrekt zu sein.


@Eldar

Dein beschränktes Intervall scheint mir eher das Intervall zu sein. Mit dieser Einschränkung funktionieren einige Beweisideen von mir nicht mehr. Zum Beispiel kann es bei dem obigen Polynom nur endlich viele Stellen mit geben. Wenn man zeigen könnte, dass die Parameterdarstellung der Kurve zu unendlich vielen solcher Stellen führt, wäre gezeigt, dass es kein solches Polynom geben kann.

Ich glaube allerdings nicht, dass die Einschränkung von eine solche Darstellung ermöglicht. Das beruht auf der Plausibilitätsbetrachtung, dass kein Grund ersichtlich ist, weshalb eine Polynomdarstellung, die in einem begrenzten Parameterbereich gültig ist, nicht auch in einem größeren Bereich gültig sein sollte.
Eldar Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Hinweise!

@Huggy: Du hast völlig recht. Es geht um das Intervall .

Vielleicht kann man ja durch Approximation eine implizite Kurve bekommen?
Die logarithmische Spirale hat erstaunlicherweise auch eine implizite Form (wenn auch nur im entferntesten Sinne polynomähnlich). Eine solche Darstellung wäre auch interessant.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Approximation kann man natürlich machen. Wenn man außer einem Polynom auch anderes probieren will, ist halt Phantasie gefragt.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »



Man liest ab:

und für

Die Kurve paßt sich daher von innen dem Einheitskreis immer besser an.
Eldar Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr guter Tipp - Besten dank!

Um die Kurvenform für hinzubekommen, könnte man sich also den Limes für anschauen:
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Eldar
Um die Kurvenform für hinzubekommen, könnte man sich also den Limes für anschauen:

Das ist doch einfach der Punkt .

Ich habe mal ein Polynom 2. Grades und ein Polynom 4. Grades zur Approximation benutzt. Das Polynom 2. Grades hat noch deutliche Abweichungen:

[attach]53462[/attach]

Das Polynom 4. Grades passt recht gut, hat aber Verzweigungen, die nicht auf der Kurve liegen.

[attach]53463[/attach]
Eldar Auf diesen Beitrag antworten »

Das Polynom 4. Grades sieht wirklich sehr gut aus. Wie bist Du schrittweise auf die Gleichung (4. Grades) gekommen?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe einfach mein CAS (Mathematica) arbeiten lassen.
Eldar Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, Du hast also -Datenpunkte erzeugt und diese Wolframs "FindFit"-Funktion übergeben: https://reference.wolfram.com/language/ref/FindFit.html

Das ist genial simpel - werde ich ausprobieren!
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mit FindMinimum gearbeitet.
Eldar Auf diesen Beitrag antworten »

Genial - hab's gefunden und werde das ausprobieren: https://reference.wolfram.com/language/ref/FindMinimum.html
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
@mYthos
... Aber ein Plot ist nun mal kein Beweis. Abgesehen davon scheint mir dein Plot nicht korrekt zu sein.
...

Bitte um Begründung. Mich würde es interessieren, weshalb der Plot nicht korrekt ist.

[attach]53464[/attach]

mY+
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

@mythos: Bei Dir ist das sowohl im Cosinus-, als auch im Sinus-Term jeweils im Zähler. In der Aufgabenstellung ist es aber im Nenner.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Danke! Was eine fehlende Klammer alles ausmachen kann!

[attach]53468[/attach]



mY+
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