Parameterform mit trigonometrischen Funktionen in kartesische Form umwandeln |
08.08.2021, 00:02 | Eldar | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Parameterform mit trigonometrischen Funktionen in kartesische Form umwandeln Ist es möglich, eine kartesische (polynomähnliche) Form in und aus der oben gegebenen parametrischen Form herzuleiten (sprich das zu eliminieren)? |
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08.08.2021, 08:28 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Parameterform mit trigonometrischen Funktionen in kartesische Form umwandeln Das dürfte nicht möglich sein. Eine polynomähnliche Form ist definitiv ausgeschlossen, da die Parameterdarstellung zwar eine Kurve definiert, aber keine Funktion . |
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08.08.2021, 08:46 | Eldar | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Parameterform mit trigonometrischen Funktionen in kartesische Form umwandeln Hallo Huggy - vielen Dank für Deine Antwort. Mit "polynomähnlich" meinte ich auch Formen wie beispielsweise . Ist es unmöglich, eine solche Form zu bekommen? Wie könnte man formal zeigen, dass sich nicht eliminieren lässt? |
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08.08.2021, 09:23 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Parameterform mit trigonometrischen Funktionen in kartesische Form umwandeln Eim formaler Beweis dürfte schwierig sein. Jedenfalls übersteigt er meine Fähigkeiten. Trotzdem bin ich überzeugt, dass es auch keine solche Form gibt. |
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09.08.2021, 10:57 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Möglicherweise alleine schon deswegen: [attach]53459[/attach] mY+ |
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09.08.2021, 11:06 | Eldar | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank für den Hinweis! Haben wir denn eine Chance, wenn wir einschränken? |
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09.08.2021, 11:49 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Bereich von t dürfte dafür nicht ausschlaggebend sein. Der Parameter (t) ist zunächst algebraisch nicht darstellbar, wenn im Zähler der Brüche Polynom- und Winkelfunktionen gemischt auftreten. Möglicherweise ist durch eine gemeinsame Operation (Division*,...) von x(t) und y(t) eine implizite Gleichung erzielbar, das ist aber eher unwahrscheinlich. (*) .. führt auf cot-Kurven mY+ |
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09.08.2021, 12:42 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@mYthos Plots haben haben auch meine Überzeugung gestärkt, dass eine implizite Darstellung der Kurve durch eine Polynomgleichung nicht möglich ist. Aber ein Plot ist nun mal kein Beweis. Abgesehen davon scheint mir dein Plot nicht korrekt zu sein. @Eldar Dein beschränktes Intervall scheint mir eher das Intervall zu sein. Mit dieser Einschränkung funktionieren einige Beweisideen von mir nicht mehr. Zum Beispiel kann es bei dem obigen Polynom nur endlich viele Stellen mit geben. Wenn man zeigen könnte, dass die Parameterdarstellung der Kurve zu unendlich vielen solcher Stellen führt, wäre gezeigt, dass es kein solches Polynom geben kann. Ich glaube allerdings nicht, dass die Einschränkung von eine solche Darstellung ermöglicht. Das beruht auf der Plausibilitätsbetrachtung, dass kein Grund ersichtlich ist, weshalb eine Polynomdarstellung, die in einem begrenzten Parameterbereich gültig ist, nicht auch in einem größeren Bereich gültig sein sollte. |
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09.08.2021, 12:51 | Eldar | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank für die Hinweise! @Huggy: Du hast völlig recht. Es geht um das Intervall . Vielleicht kann man ja durch Approximation eine implizite Kurve bekommen? Die logarithmische Spirale hat erstaunlicherweise auch eine implizite Form (wenn auch nur im entferntesten Sinne polynomähnlich). Eine solche Darstellung wäre auch interessant. |
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09.08.2021, 15:41 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Approximation kann man natürlich machen. Wenn man außer einem Polynom auch anderes probieren will, ist halt Phantasie gefragt. |
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09.08.2021, 15:42 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Man liest ab: und für Die Kurve paßt sich daher von innen dem Einheitskreis immer besser an. |
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09.08.2021, 15:54 | Eldar | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sehr guter Tipp - Besten dank! Um die Kurvenform für hinzubekommen, könnte man sich also den Limes für anschauen: |
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09.08.2021, 16:17 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist doch einfach der Punkt . Ich habe mal ein Polynom 2. Grades und ein Polynom 4. Grades zur Approximation benutzt. Das Polynom 2. Grades hat noch deutliche Abweichungen: [attach]53462[/attach] Das Polynom 4. Grades passt recht gut, hat aber Verzweigungen, die nicht auf der Kurve liegen. [attach]53463[/attach] |
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09.08.2021, 16:22 | Eldar | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Polynom 4. Grades sieht wirklich sehr gut aus. Wie bist Du schrittweise auf die Gleichung (4. Grades) gekommen? |
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09.08.2021, 16:24 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe einfach mein CAS (Mathematica) arbeiten lassen. |
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09.08.2021, 16:30 | Eldar | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, Du hast also -Datenpunkte erzeugt und diese Wolframs "FindFit"-Funktion übergeben: https://reference.wolfram.com/language/ref/FindFit.html Das ist genial simpel - werde ich ausprobieren! |
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09.08.2021, 16:35 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe mit FindMinimum gearbeitet. |
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09.08.2021, 18:19 | Eldar | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genial - hab's gefunden und werde das ausprobieren: https://reference.wolfram.com/language/ref/FindMinimum.html |
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10.08.2021, 00:18 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bitte um Begründung. Mich würde es interessieren, weshalb der Plot nicht korrekt ist. [attach]53464[/attach] mY+ |
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10.08.2021, 00:23 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@mythos: Bei Dir ist das sowohl im Cosinus-, als auch im Sinus-Term jeweils im Zähler. In der Aufgabenstellung ist es aber im Nenner. |
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10.08.2021, 14:35 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke! Was eine fehlende Klammer alles ausmachen kann! [attach]53468[/attach] mY+ |
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