Kreisteilungskörper

10.08.2021, 17:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Kreisteilungskörper Jürgen Neukirch schreibt in Kapitel I, § 10. Kreisteilungskörper von "Algebraische Zahlentheorie" "Setzen wir $\begin{eqnarray} \lambda=1-\zeta \end{eqnarray}$ , so ist nach Lemma 10.1 $\begin{eqnarray} \mathcal{O}/\lambda \mathcal{O}\cong \mathbb Z/l \mathbb Z \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathcal{O}=\mathbb Z+\lambda \mathcal{O} \end{eqnarray}$ [...]" Dabei ist $\begin{eqnarray} l \end{eqnarray}$ eine Primzahl, $\begin{eqnarray} \zeta \end{eqnarray}$ eine primitive $\begin{eqnarray} l^\nu \end{eqnarray}$ -te Einheitswurzel, uind nach Lemma 10.1 ist das Hauptideal $\begin{eqnarray} (\lambda) \end{eqnarray}$ ein Primideal vom Grad 1 im Ring $\begin{eqnarray} \mathcal{O} \end{eqnarray}$ der ganzen Zahlen von $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\zeta) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} l\mathcal{O}=(\lambda)^{\varphi(l^\nu)} \end{eqnarray}$ . Ich komme über das also nicht hinweg. Warum ist das so ? Wie schließt man das ?
10.08.2021, 22:24	jnk4	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lambda \mathcal{O} \end{eqnarray}$ ist aufgrund der Isomorphie $\begin{eqnarray} \mathcal{O}/\lambda\mathcal{O} \cong \mathbb{Z}/\ell \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} \ell \end{eqnarray}$ prim, ein maximaler $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ -Untermodul von $\begin{eqnarray} \mathcal{O} \end{eqnarray}$ .
11.08.2021, 10:03	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, damit ist auch klar, warum Neukirch im Lemma 10.1 den Grad 1 des Primideals betont. Ich stehe mehr auf Idealtheorie als auf Moduln, konnte da aber den Grund nicht finden, weil $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ zweifellos kein $\begin{eqnarray} \mathcal {O} \end{eqnarray}$ -Ideal ist. Vielleicht muss ich doch noch van der Waerden Algebra II repetieren, aber so richtig viel Spaß hat mir das schon in den 1970er Jahren nicht gemacht.
11.08.2021, 12:36	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Spielt der Grad 1 überhaupt eine Rolle ? In Dedekindringen sind alle Primideale maximal, also der Restklassenring stets ein Körper. Ist es für die Maximalität des Moduls relevant, dass der Restklassenkörper ein Primkörper ist ?
11.08.2021, 13:55	jnk4	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn der Grad größer ist, dann ist doch $\begin{eqnarray} \mathcal{O}/\lambda \mathcal{O} \cong \mathbb{F}_{\ell^r} \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} r>1 \end{eqnarray}$ . Die additive Gruppe dieses Körpers ist doch aber eben nicht isomorph zu $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/\ell^r \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ , sondern $\begin{eqnarray} (\mathbb{Z}/\ell \mathbb{Z})^r \end{eqnarray}$ und letzterer $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ -Modul ist nicht einfach.
11.08.2021, 14:12	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Ist es dann nicht egal, wie die additive Gruppe der endlichen Nichtprimkoerper aussieht, weil nur die abelsche Gruppe von Primzahlordnung einfach ist?
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14.08.2021, 14:29	jnk4	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt wohl ..

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