Unleserlich! Konfidenzintervall

10.08.2021, 21:23

Lara21

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Konfidenzintervall

Die Katzenfreundin Helga ist erbost. Für ihre fünf Katzen hat sie im letzten Jahr Futtersäcke der Marke
Für die Katz’ erworben, auf denen ein Nettogewicht von 2kg steht. Da sie den Nahrungsbedarf ihrer vier-
beinigen Mitbewohner kennt, ist sie jedoch schnell misstrauisch geworden, da die Säcke deutlich kürzer

gehalten haben als sonst. Um herauszufinden, ob man bei Für die Katz’ die Katze im Sack kauft, oder ob

die Raubtiere einfach größeren Hunger hatten, erwirbt sie 22 Packungen und stellt jeweils deren Netto-
gewicht fest. Dabei ergibt sich ein Stichprobenmittel von x (22) = 1.91 [kg] und eine Stichprobenvarianz

von s^2(22) = 0.04 [kg2]. Nehmen Sie an, dass die Nettogewichte durch unabhängige N(¼,2)-verteilte
Zufallsvariablen beschrieben werden können.
(a) Geben Sie ein Intervall an, in dem der Erwartungswert ¼ des Nettogewichts pro Sack mit einer
Wahrscheinlichkeit von 0.9 liegt.

(b) Für die Katz’ begründet das Untersuchungsergebnis mit dem Hinweis auf einen Defekt an der Ver-
packungsmaschine. Die Maschine sei inzwischen neu eingestellt. Zur Überprüfung dieser Aussage

führt Helga folgenden Test durch: Die Hypothese H0 : ¼2 >=2 wird gegen die Alternative ¼ < 2

mit einem Testniveau alpha= 0.01 und bei einem Stichprobenumfang von n = 25 getestet. Die Mes-
sergebnisse liefern ein Stichprobenmittel von x (25) = 1.96 [kg] und eine Stichprobenvarianz von

s^2(25) = 0.01 [kg2]. Wie lautet das Testergebnis?
Hinweis: Die Dichte f (t) der zur Entscheidung benötigten Verteilung ist symmetrisch um t = 0.
(c) Helga langweilt sich und benötigt dringend ein Erfolgserlebnis. Sie beschließt daher, den Test aus
Teilaufgabe (b) nur noch auf einem Signifikanzniveau von alpha = 0.05 durchzuführen. Wie lautet das
Testergebnis jetzt?

Hat einer von euch Experten Tipps für die a) ?

11.08.2021, 08:21

Huggy

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RE: Konfidenzintervall
Du solltest die unleserlichen Teile deiner Frage korrigieren.

Die Berechnungsformel zu a) findest du hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Konfidenzi...ge_Verteilungen

Da die Varianz aus der Stichprobe geschätzt wird, ist die Zeile mit der t-Verteilung zu benutzen.

Die Formulierung der Aufgabe

Zitat:

Original von Lara21
(a) Geben Sie ein Intervall an, in dem der Erwartungswert ¼ des Nettogewichts pro Sack mit einer
Wahrscheinlichkeit von 0.9 liegt.

ist übrigens nicht korrekt. Ein solches Intervall kann man nicht angeben. Korrekt wäre: Geben sie ein Intervall an, das den unbekannten Erwartungswert mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.9 überdeckt.

11.08.2021, 23:53

Lara21

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Hast du Ahnung wie ich das bei der a) berechnen kann ?

12.08.2021, 07:02

Huggy

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Zitat:

Original von Huggy
Die Berechnungsformel zu a) findest du hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Konfidenzi...ge_Verteilungen

Da die Varianz aus der Stichprobe geschätzt wird, ist die Zeile mit der t-Verteilung zu benutzen.

Hast du den Link angesehen? Was verstehst du an der angegebenen Formel nicht?

12.08.2021, 20:18

Lara21

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Für s^2 =0,04 kg^2

Was setze ich in der Formel für n und x ein Huggy ?

12.08.2021, 21:49

Huggy

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Zitat:

Original von Lara21
Für s^2 =0,04 kg^2

Richtig.

Zitat:

Was setze ich in der Formel für n und x ein Huggy ?

In die Formel für $\begin{eqnarray*} s^2 \end{eqnarray*}$ musst du nichts einsetzen, weil ja $\begin{eqnarray*} s^2 \end{eqnarray*}$ gegeben ist. Einsetzen musst du in die Formel in der rechten Spalte. Es ist $\begin{eqnarray*} n=22 \end{eqnarray*}$ der in der Aufgabe genannte Stichprobenumfang. Es ist $\begin{eqnarray*} \bar x =1.91 \, kg \end{eqnarray*}$ der in der Aufgabe genannte Mittelwert der Stichprobe.

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13.08.2021, 00:46

Lara21

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$\begin{eqnarray*} 0.04kg^2 = \frac{1}{22-1} \sum\limits_{i=1}^{n} (x_i -1,91kg)^2 \end{eqnarray*}$

Ich denke ,dass ich es nach x_i auflösen muss .
Wie bekomme ich das Summenzeichen weg ?
Oder denke ich einfach zu kompliziert Big Laugh

Big Laugh

13.08.2021, 07:25

Huggy

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Zitat:

Original von Lara21
Oder denke ich einfach zu kompliziert Big Laugh

Big Laugh

Du liest einfach nicht, was ich schreibe:

Zitat:

Original von Huggy
In die Formel für $\begin{eqnarray*} s^2 \end{eqnarray*}$ musst du nichts einsetzen, weil ja $\begin{eqnarray*} s^2 \end{eqnarray*}$ gegeben ist. Einsetzen musst du in die Formel in der rechten Spalte.

Oder schreibe ich, ohne es zu merken, auf chinesisch. Die Formel für $\begin{eqnarray*} s^2 \end{eqnarray*}$ brauchst du, wenn $\begin{eqnarray*} s^2 \end{eqnarray*}$ nicht gegeben ist, sondern die Stichprobenwerte $\begin{eqnarray*} x_i, i=1, \ldots, 22 \end{eqnarray*}$ gegeben sind. Jetzt nimm mal die Formel für das Konfidenzintervall in der rechten Spalte und setze dort ein. Hinweis: Rechts ist da, wo der Daumen links ist! Big Laugh

Big Laugh

13.08.2021, 11:12

Lara21

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meinst du die Formel Huggy bevor ich im dunkeln tappe ? Big Laugh

Big Laugh

13.08.2021, 11:14

Huggy

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Genau die meine ich.

13.08.2021, 12:24

Lara21

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Habe alpha = 0,01 genommen
So sieht diese komische Formel jetzt aus Big Laugh

Big Laugh

Wie gehe ich hier weiter vor?
Wirkt kompliziert verwirrt

verwirrt

13.08.2021, 12:44

Huggy

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Zitat:

Original von Lara21
Habe alpha = 0,01 genommen

Weshalb das? Auch wenn der Satz in der Aufgabenstellung

Zitat:

(a) Geben Sie ein Intervall an, in dem der Erwartungswert ¼ des Nettogewichts pro Sack mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.9 liegt.

so Unfug ist, ergibt sich doch daraus, dass $\begin{eqnarray*} \alpha =0.1 \end{eqnarray*}$ verwendet werden soll.

Zitat:

Wie gehe ich hier weiter vor?
Wirkt kompliziert verwirrt

verwirrt

Mit diesem $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ musst du nun $\begin{eqnarray*} t_{(1-\frac \alpha 2 ;n-1)} \end{eqnarray*}$ aus einer Tabelle der t-Verteilung entnehmen oder dir von einem Rechner, der sie kennt, ausgeben lassen. Danach kannst du die untere und die obere Grenze des gesuchten Konfidenzintervalls ausrechnen. Alle anderen Größen hast du schon korrekt in die Formel eingetragen.

13.08.2021, 18:24

Lara21

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t(1- 0.1/2 , 21 ) = t(0.95,21)

Soll ich das in der Tabelle nachschauen ?

Wie soll ich den Wert ablesen ?

13.08.2021, 18:59

Huggy

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In der Wikitabelle

https://de.wikipedia.org/wiki/Studentsch...er_t-Verteilung

geht man in die Zeile $\begin{eqnarray*} n=21 \end{eqnarray*}$ und die Spalte $\begin{eqnarray*} P=0.9 \end{eqnarray*}$ für das zweiseitige Konfidenzintervall bzw. $\begin{eqnarray*} P=0.95 \end{eqnarray*}$ für das einseitige Konfidenzintervall.

13.08.2021, 20:37

Lara21

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Was sagst du zu dem Ergebnis ? Big Laugh

Big Laugh

Wie komme ich eigentlich bei der b) zum Testergebnis ?

Irgendwie kommt es nach deinen Tipps leichter vor ,aber selbst komme ich irgendwie gar nicht drauf Big Laugh

Big Laugh

14.08.2021, 07:43

Huggy

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Zitat:

Original von Lara21
Was sagst du zu dem Ergebnis ? Big Laugh

Big Laugh

Wenn du es auch noch ausrechnest und dabei keinen Rechenfehler machst, ist es korrekt.

Zitat:

Wie komme ich eigentlich bei der b) zum Testergebnis ?

Der erste Schritt ist, die oben unleserlichen Hypothesen noch mal leserlich zu schreiben. Die Rechnung verläuft ähnlich der vorigen Rechnung zum Konfidenzintervall. Die Grenze für die Ablehnung/Nichtablehnung der Nullhypothese ist bei einer Normalverteilung identisch mit der Grenze eines einseitigen Konfidenzintervalls bezüglich des in der Nullhypothese stehenden Gewichts.

Zitat:

Irgendwie kommt es nach deinen Tipps leichter vor ,aber selbst komme ich irgendwie gar nicht drauf Big Laugh

Big Laugh

Man muss sich halt mit den Dingen beschäftigen.

14.08.2021, 11:30

Lara21

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Aufgabe nochmal schön ?
Ja aber welche Formel wende ich da bei b) an ?
Es kann ja nicht die gleiche sein

14.08.2021, 13:29

Huggy

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Zitat:

Original von Lara21
Ja aber welche Formel wende ich da bei b) an ?
Es kann ja nicht die gleiche sein

Doch, das ist im Prinzip dieselbe Formel, nur etwas anders angewendet. Ein einseitiges linksseitiges Konfidenzintervall ist ein Intervall $\begin{eqnarray*} (x_u, \infty) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_u \end{eqnarray*}$ als der unteren Grenze. $\begin{eqnarray*} x_u \end{eqnarray*}$ ist identisch mit der linken Grenze des zweiseitigen Konfidenzintervalls, wenn man in dem Quantil der t-Verteilung $\begin{eqnarray*} \alpha/2 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ersetzt, also

$\begin{eqnarray*} x_u= \bar x-t_{(1- \alpha ;n-1)} \frac s {\sqrt n} \end{eqnarray*}$

Bei einem linksseitigen Hypothesentest ersetzt man in dieser Formel $\begin{eqnarray*} x_u \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \bar x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \bar x \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und das Gleichheitszeichen durch ein Kleinerzeichen, also

$\begin{eqnarray*} \bar x < \mu-t_{(1- \alpha ;n-1)} \frac s {\sqrt n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ist der Wert in der Nullhypothese, also bei deiner Aufgabe $\begin{eqnarray*} \mu=2 \end{eqnarray*}$ . Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn obige Ungleichung erfüllt ist. Bei der Darstellung des Hypothesentest ist die Ungleichung üblicherweise so umgestellt:

$\begin{eqnarray*} T=\sqrt n \frac {\bar x - \mu}{s}<- t_{(1-\alpha ;n-1)} \end{eqnarray*}$

Dabei wird die linke Seite der Ungleichung als Testgröße bezeichnet. Es bleibt dir überlassen, welche Form der Ungleichung du für den Test benutzen willst.

Es sei aber noch mal darauf hingewiesen, dass die Symmetrie zwischen Konfidenzintervall und Hypthesentest nur bei einer Normalverteilung gilt.

14.08.2021, 13:32

Lara21

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Huggy bevor ich mit der b) anfange wollte ich nochmal fragen wie wir bei der a) auf alpha = 0.1 gekommen sind?

Wie hasst du das alpha ausgerechnet ?

14.08.2021, 13:41

Huggy

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Die Überdeckungswahrscheinlichkeit sollte $\begin{eqnarray*} P=0.9 \end{eqnarray*}$ sein. Und es ist $\begin{eqnarray*} \alpha = 1 -P \end{eqnarray*}$ . Die Sache erscheint etwas umständlich, weil in den Tabellen der t-Verteilung üblicherweise $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ auftaucht. Weshalb also der Umweg über $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ? Nun, in den allgemeinen Formeln taucht nun mal $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ auf.

14.08.2021, 14:51

Lara21

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Ich habe mal ein Versuch gestartet ´für b)

Was ist das u0?

14.08.2021, 15:34

Huggy

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Du musst doch jetzt mit den Daten arbeiten, die im Aufgabenteil b) genannt sind und nicht mit denen aus dem Aufgabenteil a). Und $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mu_0 \end{eqnarray*}$ muss du auch als Zahl einsetzen.

14.08.2021, 16:10

Lara21

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$\begin{eqnarray*} T= \sqrt{25} *\frac{1.96kg-u0}{\sqrt{0.01}kg } \end{eqnarray*}$

Was setze ich für u0 ein?

14.08.2021, 16:18

Huggy

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Zitat:

Original von Lara21
Was setze ich für u0 ein?

Das habe ich doch oben schon mal gesagt:

Zitat:

Original von Huggy
$\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ist der Wert in der Nullhypothese, also bei deiner Aufgabe $\begin{eqnarray*} \mu=2 \end{eqnarray*}$ .

14.08.2021, 16:28

Lara21

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$\begin{eqnarray*} T= \sqrt{25} *\frac{1.96kg-2}{\sqrt{0.01}kg } = 2 \end{eqnarray*}$

Das ist das Testergebnis?

14.08.2021, 16:29

Lara21

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$\begin{eqnarray*} T= \sqrt{25} *\frac{1.96kg-2}{\sqrt{0.01}kg } = - 2 \end{eqnarray*}$

Das ist das Testergebnis?[/quote]

14.08.2021, 16:34

Huggy

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Nach Korrektur des Vorzeichens richtig. Jetzt fehlt noch der Vergleichswert auf der rechten Seite der Ungleichung.

Allerdings: Wenn du die Einheiten mitführst, dann muss auch die 2 eine Einheit bekommen.

14.08.2021, 17:19

Lara21

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-2 < -t ( 1-alpha,n-1)

-2 < -t (0.99,24)

-2 < - 2.797

So ok ?

14.08.2021, 17:29

Huggy

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Nein. Du musst in die Spalte $\begin{eqnarray*} P=0.99 \end{eqnarray*}$ beim einseitigen Vertrauensbereich gehen. Und das Kleinerzeichen ist als Frage zu verstehen, ist die linke Seite kleiner als die rechte Seite. Bei deinem Ergebnis wäre sie es nicht. Dein Ergebnis wäre also

$\begin{eqnarray*} -2 \not < -2.979 \end{eqnarray*}$

Auch mit dem richtigen t-Wert bleibt das so. Wird also die Nullhypothese abgelehnt oder nicht?

14.08.2021, 18:12

Lara21

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-2 < 2.492

Ja erfüllt?

Woher weiss ich wann ich beim einseitigen und wann beim zweiseitigen gucken soll?
Verstehe das nicht

14.08.2021, 18:26

Huggy

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Zitat:

Original von Lara21
-2 < 2.492

Das ist zwar richtig, aber das ist nicht das Kriterium. Das Kriterium ist, wie ich oben schrieb

Zitat:

$\begin{eqnarray*} T=\sqrt n \frac {\bar x - \mu}{s}<- t_{(1-\alpha ;n-1)} \end{eqnarray*}$

Auf der linken Seite steht noch ein Minuszeichen. Und damit ist das Kriterium nicht erfüllt. Mit deiner Schludrigkeit wird das nie etwas!!!

Zitat:

Woher weiss ich wann ich beim einseitigen und wann beim zweiseitigen gucken soll?
Verstehe das nicht

Ganz einfach:
Einseitiger Test oder einseitiges Vertrauensintervall: Bei einseitig gucken.
Zweiseitiger Test oder zweiseitiges Vertrauensintervall: Bei zweiseitig gucken.

14.08.2021, 18:42

Lara21

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Nach deinem oben genannten Kriterium jetzt Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} -2 \not < -2.492 \end{eqnarray*}$

Abgelehnt also ?

Bei c) das gleiche wie b ) nur mit neuem Alpha? Big Laugh

Big Laugh

14.08.2021, 18:55

Huggy

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Zitat:

Original von Lara21
Nach deinem oben genannten Kriterium jetzt Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} -2 \not < -2.492 \end{eqnarray*}$

Abgelehnt also ?

Es ist zum Haare ausraufen. Ich schrieb oben:

Zitat:

Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn obige Ungleichung erfüllt ist.

Die Ungleichung ist nicht erfüllt. Also kann die Nullhypothese nicht abgelehnt werden.

Zitat:

Bei c) das gleiche wie b ) nur mit neuem Alpha? Big Laugh

Big Laugh

Ja.

14.08.2021, 19:06

Lara21

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-2 < -t (0,95 , 24 )

-2 < -1.711

erfüllt

also abgelehnt ?

Wenn das falsch ist peinlich Big Laugh

Big Laugh

14.08.2021, 19:09

Huggy

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Das ist ausnahmsweise mal richtig.

14.08.2021, 19:18

Lara21

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hahah danke
Hast aber leider Recht

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