Nichtlineare Inhomogene DGL 2. Ordnung

12.08.2021, 15:11

Mr. T

Nichtlineare Inhomogene DGL 2. Ordnung

Meine Frage:
Hallo, ich habe eine Nichtlineare Inhomogene DGL 2. Ordnung und brauche eure Hilfe diese zu lösen. Gesucht ist x. Gerne mit Rechenweg. (-183823)*x^2+15,,1899*x+78=m*x"+c*x+m*g

Meine Ideen:
(-183823)*x^2+15,,1899*x+78=m*x"+c*x+m*g
Da die Gleichung x" und einen nicht linearen Anteil durch das x^2 enthält tuh ich misch schwer einen Therme zu formulieren der x beschreibt.
Ich freue mich auf eure Antworten.

12.08.2021, 17:10

HAL 9000

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Steht da rechts wirklich $\begin{eqnarray*} c\cdot x \end{eqnarray*}$ oder doch eher $\begin{eqnarray*} c\cdot x' \end{eqnarray*}$ ?

Weil man in ersterem Fall die $\begin{eqnarray*} 15{,}1899x \end{eqnarray*}$ nach rechts bringen und mit $\begin{eqnarray*} c\cdot x \end{eqnarray*}$ zusammenfassen könnte zu einem Term $\begin{eqnarray*} \tilde{c}\cdot x \end{eqnarray*}$ ...

12.08.2021, 17:23

Mr. T

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Zu aller erst vielen Dank, dass du dich mit der Problemstellung beschäftigst.
Rechts steht wirklich c⋅x

Eine andere Form der DGL ist -m*x"=-c*x-m*g+F(t)
Dabei lässt sich F(t)=(-183823)x^2+15,1899*x+78 beschreiben.

12.08.2021, 17:24

Mr. T

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C*x soll es heißen

15.08.2021, 10:45

Huggy

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Zitat:

Original von Mr. T
Eine andere Form der DGL ist -m*x"=-c*x-m*g+F(t)
Dabei lässt sich F(t)=(-183823)x^2+15,1899*x+78 beschreiben.

Weshalb schreibst du $\begin{eqnarray*} F(t) \end{eqnarray*}$ ? Da steht doch eine Funktion von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Auch wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ abhängt, ist das irritierend.

Es macht wenig Sinn, die DGL zu betrachten, wenn ein Teil der Konstanten als Zahl gegeben ist und ein anderer Teil nicht. Die DGL hat die Form

$\begin{eqnarray*} \ddot x=a_2x^2+a_1x+a_0=f(x) \end{eqnarray*}$

Die Punkte stehen für Ableitungen nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ . Sie lässt sich in eine DGL 1. Ordnung verwandeln. Sei

$\begin{eqnarray*} y=\dot x =\frac {dx}{dt} \end{eqnarray*}$

Dann hat man unter Benutzung der Kettenregel

$\begin{eqnarray*} \ddot x=\frac d {dt} \dot x = \frac d {dt} y =\frac {dy}{dx}\frac {dx}{dt}=\frac {dy}{dx}y=y'y \end{eqnarray*}$

Der Strich steht für die Ableitung nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . In der Unbekannten $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ lautet die DGL

$\begin{eqnarray*} y'y=a_2x^2+a_1x+a_0 \end{eqnarray*}$

Das lässt sich direkt integrieren:

$\begin{eqnarray*} \frac 1 2 y^2=\frac 1 3 a_2x^3+\frac 1 2 a_1x^2 + a_0x +k_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=\dot x=\pm \sqrt {\frac 2 3 a_2x^3+a_1x^2 + 2a_0x +2k_1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ ist die Integrationskonstante. Sie ergibt sich den Anfangsbedingungen für $\begin{eqnarray*} x(0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y(0)=\dot x(0) \end{eqnarray*}$ . Diese entscheiden auch über das Vorzeichen der Wurzel. Jetzt hat man eine DGL 1. Ordnung mit getrennten Veränderlichen, die sich auf ein Integral zurückführen lässt, allerdings auf ein übles Integral:

$\begin{eqnarray*} \int \frac {dx}{\pm \sqrt {\frac 2 3 a_2x^3+a_1x^2 + 2a_0x +2k_1}}=t+k_0 \end{eqnarray*}$

Die linke Seite ergibt ein elliptisches Integral.

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