Größten Zuwachs ausnutzen

15.08.2021, 14:39

Linkus Finkus

Größten Zuwachs ausnutzen

Meine Frage:
Hey. ich hätte mal eine Frage, wenn ich eine Funktion habe, in der die Y-Achse zb. den Gewinn beschreibt. Und die X-Achse die Arbeit ist, die ich dafür leisten muss. Jetzt stellen wir uns noch vor, das es nicht am profitabelsten sei, den ganzen Prozess mitzumachen, sondern nur ein Teil und dann wieder von vorne anzufangen. Wenn ich den Punkt suche, an dem es nun am besten wäre aufzuhören und wieder anzufangen, würde ich spontan ja an den Punkt mit der größten Steigung denken also den Wendepunkt. Nun meine Frage: Wenn ich die größte Steigung ausnutzen will, und diese zb. bei x=10 ist, nutze ich diese dann aus wenn ich bis Arbeitsschritt 10 gehe und dann aussteige oder muss ich noch sozusagen eins weitergehen bis x=11 um die Steigung von 10 mitzunehmen?

Meine Ideen:
-

15.08.2021, 19:57

HAL 9000

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Nein: Für deine Funktion $\begin{eqnarray*} G=G(A) \end{eqnarray*}$ willst du nicht $\begin{eqnarray*} G'(A) \end{eqnarray*}$ maximieren, sondern stattdessen die Funktion $\begin{eqnarray*} f(A) = \frac{G(A)}{A} \end{eqnarray*}$ .

Beispiel: $\begin{eqnarray*} G(A) = 3A^2-A^3 \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,2] \end{eqnarray*}$ ist eine solche beispielhafte Gewinnfunktion. $\begin{eqnarray*} G'(A)=6A-3A^2 \end{eqnarray*}$ hat ihr Maximum bei $\begin{eqnarray*} A_1=1 \end{eqnarray*}$ , aber die Funktion $\begin{eqnarray*} f(A) = 3A-A^2 \end{eqnarray*}$ hat ihr Maximum erst bei $\begin{eqnarray*} A_2=\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ . Und im Sinne der Gewinnmaximierung pro Arbeit hört man besser erst bei $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ auf statt bei $\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ , um dann neu zu starten.

16.08.2021, 07:40

Linkus Finkus

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erstmal danke, dein Beispiel ist klar, jedoch verstehe ich noch nicht wieso es f(A) sein soll, was mir die Antwort gibt. Was sagt mir das G(A) / A aus? Würde mich für den Hintergrund interessieren, da ich ihn noch nicht verstanden hab.

Nicht unbedingt relevant aber einfach nochmal als Input wie ich zu der Frage kam ist folgender Zusammenhang:

Für jeden Lohn muss man zb 30 min Arbeiten und hier dann die Frage, wie lange sollte man jeden Tag arbeiten um das Effektivste aus seiner Zeit zu machen. Und da es hier recht leicht ist mit der Tabelle würde man sagen: 15 mal sollte man sich lohn holen um den Anstieg des Boni von +4 auf +8 bei 14 auf 15 Lohn mitzunehmen.

Lohn Lohnbonus Ges
1 +0 1
4 +0 4
5 +2 7
9 +2 11
10 +4 14
14 +4 18
15 +8 23
19 +8 27
20 +10 30
24 +10 34

Wenn ich den Zuwachs des Lohnboni tabelliere (was ich dachte könnte ich vll gleichsetzen mit der Steigung einer Funktion):

Lohn Lohnbonus'
1 +0
4 +0
5 +2
9 +0
10 +2
14 +0
15 +4
19 +0
20 +2
24 +0

Und jetzt dachte ich mir halt wo ist der Lohnbonus' am größten: bei Lohn 15 und da dacht ich an den Extrempunkt, sodass ich auf den Wendepunkt kam. War mir aber unsicher, wie die Thematik da mit richtigen Funktionen und richtiger Steigung aussieht. Im Sinne von ob die Steigung die bei Lohn 15 von 14 auf 15 ansteigt, also die +4 mitgenommen wird wenn ich bei dem Punkt aussteige, wie in diesem Beispiel oder man noch weiter gehen sollte. Da die Steigung bei zb: x=4 erst von x=4 auf x=4,.... in Aktion tritt?

16.08.2021, 07:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von Linkus Finkus
Was sagt mir das G(A) / A aus?

Den mittleren Gewinn pro Arbeit für das Intervall [0,A].

Ich hab dein Problem so verstanden: Wie bekommt man langfristig den größten Gewinn pro eingesetzter Arbeit? Wobei man aber jeden Tag zum Zeitpunkt 0 anfangen muss, d.h., sich also NICHT irgendein Zeitintervall zwischendurch raussuchen darf (nur bei diesem Modell würde die Maximierung von G'(A) Sinn ergeben).

Nehmen wir mein Beispiel oben: Angenommen du hast insgesamt 30 Einheiten Arbeit zur Verfügung. Würdest du hinsichtlich Gewinn-Maximierung

a) 30mal das Intervall [0,1] abarbeiten?

b) 20mal das Intervall [0,1.5] abarbeiten?

c) 15mal das Intervall [0,2] abarbeiten?

d) Ein anderes Intervall wählen?

16.08.2021, 07:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von Linkus Finkus
bei Lohn 15 und da dacht ich an den Extrempunkt, sodass ich auf den Wendepunkt kam.

Bei Lohn 15 ist der Quotient 23/15 von "Ges/Lohn" maximal - das und nur das ist der Grund, diesen Zeitpunkt zu wählen. Nicht Maximum des Anstiegs, Wendepunkte usw. - denk einfach mal gründlich nach, was das eigentliche Ziel ist und versuche dann logisch exakt zu folgern, wie man da hingelangt - statt wild und wirr zu spekulieren. unglücklich

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Vielleicht überzeugt es dich aber mehr, wenn ich (nahezu) bei deinem Beispiel bleibe und es nur ganz leícht modifiziere:

Arbeitseinheiten Lohnbonus Gesamtlohn
1 +0 1
4 +0 4
5 +2 7
9 +2 11
10 +4 14
14 +4 18
15 +8 23
16 +9 25
19 +9 28
20 +11 31
24 +11 35

D.h., ich habe dein Auszahlungsschema genommen, aber ab AE=16 eine Bonuseinheit hinzugepackt. Damit haben wir nach wie vor von 14 auf 15 den größten Anstieg vorliegen, aber die optimale Arbeitszeit ist nun nicht mehr AE=15, sondern diesmal AE=16, denn:

16 Arbeitstage mit AE=15 ergibt Auszahlung 16*23 = 368.

15 Arbeitstage mit AE=16 ergibt Auszahlung 15*25 = 375, d.h., etwas besser.

Grund dafür ist natürlich 23/15 < 25/16, d.h. der Quotient ist nunmehr bei AE=16 am größten, das ist die maßgebliche Änderung gegenüber deinem Original.

19.08.2021, 14:45

Linkus Finkus

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Danke für die Erklärungen, hab es jetzt verstanden
Sry das es gedauert hat Big Laugh

Und auf jeden Fall auch danke für deine Zeit.

19.08.2021, 15:07

HAL 9000

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Ich hatte schon befürchtet dann doch nur für die Mülltonne geschrieben zu haben (was nicht das erste mal gewesen wäre). Deswegen danke für die Rückmeldung, das braucht man hin und wieder als Motivation. Augenzwinkern

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