Besonderheiten bei der Teilbarkeit durch 9 von Rechensummen

17.08.2021, 10:51

Egon72

Besonderheiten bei der Teilbarkeit durch 9 von Rechensummen

Mir war beim Errechnen der Teilbarkeit durch von Summen ein paar Besonderheiten aufgefallen.
Ob diese bekannt sind, konnte ich im Internet noch nicht finden.

Gegeben sind zwei positive Zahlen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} a + b \end{eqnarray*}$ ist genau dann durch 9 teilbar, wenn auch $\begin{eqnarray*} a + quersumme(b) \end{eqnarray*}$ durch 9 teilbar ist.
Folglich sind dann auch $\begin{eqnarray*} quersumme(a) + b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} quersumme(a) + quersumme(b) \end{eqnarray*}$ teilbar durch 9.

Ähnlich funktioniert es auch bei Subtraktion, allerdings muss man die Quersumme der negativen Zahl abziehen:

$\begin{eqnarray*} a - b \end{eqnarray*}$ ist durch 9 teilbar, wenn auch $\begin{eqnarray*} a - quersumme(b) \end{eqnarray*}$ durch 9 teilbar ist, ebenso auch $\begin{eqnarray*} quersumme(a) - b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} quersumme(a) - quersumme(b) \end{eqnarray*}$ .

Wenn es nur interessiert, ob die Summe bzw. Differenz durch 9 teilbar ist, kann man dies auf mehrere Arten ermitteln.

z.B.:

Ist $\begin{eqnarray*} 67 + 14 \end{eqnarray*}$ durch 9 teilbar?

Der übliche Weg:
$\begin{eqnarray*} 67 + 14 = 81 = 9*9 \end{eqnarray*}$ - die Summe ist durch 9 teilbar.
Man kann auch nur die einzelnen Ziffern addieren: $\begin{eqnarray*} 6+7+1+4 = 18 = 2*9 \end{eqnarray*}$ - das Ergebnis ist durch 9 teilbar.
Auch kann man von beliebigen Zahlen in den Rechnung mit der Quersumme weiter rechnen:
$\begin{eqnarray*} quersumme(67) + 14 = 13 + 14 13 + 14 = 27 1 + 4 + 1 + 3= 9 \end{eqnarray*}$ .
Man gelangt immer auf ein Vielfaches von 9.

--

Zieht man zwei Zahlen voneinander ab, welche die gleichen Ziffern enthalten, nur in einer anderen Reihenfolge, oder wenn zumindest die Quersumme ist die Differenz immer durch 9 teilbar.
Mann kann ohne zu rechnen sagen, $\begin{eqnarray*} 761 - 176 \end{eqnarray*}$ ist ein Vielfaches von 9. Das Ergebnis wäre $\begin{eqnarray*} 585 = 65 * 9 \end{eqnarray*}$ .

--

Beweisen konnte ich meine "Entdeckung" noch nicht, aber die Regeln scheinen schon immer zu passen. Sie müssten auch bei der Teilbarkeit durch 3 gelten.

17.08.2021, 11:04

HAL 9000

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Deine Erkennntnisse sind natürlich richtig, aber wenn du nochmal genau drüber schaust, dann musst du nicht gleich mit Summen/Differenzen anfangen, sondern kannst das Grundlegende auch so formulieren:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} quersumme(b) \end{eqnarray*}$ ergeben geteilt durch 9 denselben Rest.

oder äquivalent

Zitat:

Differenz $\begin{eqnarray*} b-quersumme(b) \end{eqnarray*}$ ist stets durch 9 teilbar.

Lässt sich z.B. mit der Dezimaldarstellung $\begin{eqnarray*} b = \sum_{k=0}^n a_k 10^k \end{eqnarray*}$ und damit dann $\begin{eqnarray*} quersumme(b) = \sum_{k=0}^n a_k \end{eqnarray*}$ beweisen.

17.08.2021, 13:02

Steffen Bühler

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Willkommen im Matheboard!

Im Grunde beruht Deine Entdeckung auf dem Distributivgesetz: wenn zwei Zahlen durch 9 teilbar sind, gilt das auch für ihre Summe und Differenz, denn

$\begin{eqnarray*} a=9m b=9n a+b=9m+9n=9(m+n) a-b=9m-9n=9(m-n) \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Steffen

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