Abbildungen zwischen R^n und R^m

20.08.2021, 23:05

Rhombus

Abbildungen zwischen R^n und R^m

Meine Frage:
Hallo,
Ich habe ein Problem was die Anschauung von Abbildungen zwischen Räumen von n-Dimensionen und m-Dimensionen angeht.
Wie genau kann ich mir solche Abbildungen vorstellen, hier ein Beispiel für meine Schwierigkeit:

F:R^2-->R, F(x,y)=cos(x)*y

Bedeutet dies, dass F jeden Vektor aus dem R^2 nimmt und seine Komponenten nach Vorschrift auf die reellen Zahlen abbildet? Wie ist das vereinbar damit, dass diese Funktion im R^3 "lebt"?

Die Schwierigkeit spitzt sich für mich zu, wenn ich mir bspw. folgende Funktion anschaue:

F:R^3-->R, x,y,z-->x*y^2+cos(z)

Was soll das für eine Funktion sein, kann ich sie nicht visualisieren, weil sie nicht im dreidimensionalen Raum eingebettet ist?
Was versteht man unter einer Funktion von R-->R^3, also dem umgekehrten Fall?

Ich hoffe mein Problem wird verständlich durch die Beispiele, mir fehlt vollkommen die Intuition für diese Arten von Abbildungen, da ich mich mit der Differenziation solcher Funktionen beschäftige, glaube ich, einen wichtigen Schritt nicht verstanden zu haben.

Meine Ideen:
/

21.08.2021, 00:33

klauss

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RE: Abbildungen zwischen R^n und R^m
Ich will hier nur zur Veranschaulichung beitragen.
Für Deine 3 Varianten kann man Musterbeispiele nennen.

$\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$
Man nimmt Punkte der x-y-Ebene ("Definitionsebene") und weist ihnen einen Zahlenwert zu, den man in z-Richtung aufträgt. Das ergibt eine 3-dimensionale Figur ("fliegender Teppich") im Raum, mit der man dann Berechnungen anstellen kann, z. B. Oberfläche der Figur, Volumen zwischen der Figur und der x-y-Ebene u. a.

$\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$
Man nimmt Punkte im Raum und weist ihnen einen Zahlenwert zu, z. B. Temperatur. Wenn man die Zahlenwerte dann in ein Farbspektrum übersetzt, könnte man ein 3-dimensionales Thermobild erzeugen.

$\begin{eqnarray*} \mathbb R \rightarrow \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$
Kann man als Spur einer Kurve im Raum darstellen, z. B. diese Spirale.

[attach]53523[/attach]

24.08.2021, 20:19

Rhombus

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RE: Abbildungen zwischen R^n und R^m
Vielen Dank für die Erklärung,
Ich hätte noch einmal speziell eine Frage zu den Abbildungen in niedriger-dimensionale Räume, bspw. die Folgende F-R^3-->R, (x,y,z)-->sin(x*y*z).
Ist diese Abbildung äquivalent zur "Termperaturabbildung", sprich, könnte ich mit dieser Funktion ebenso jedem Raumpunkt einen skalaren Wert zuweisen?
Wie sieht das aus mit der Ableitung einer solchen Funktion, ich meine hier das totale Differential, gibt es eine Aussage darüber ab, wie stark sich die Temperatur für einen Beobachter ändert, wenn er im R^3 ein "Stückchen wandert"?

Ich glaube was mich momentan am stärksten verwirrt ist, dass ich den Output nicht visualisieren kann, die Funktion nimmt einen Vektor aus dem R^3 und ersetzt diesen mit einem entsprechenden Wert, bedeutet dass, dass der R^3 ausgefüllt wird mit Werten, oder entsteht wieder eine Bahnkurve wie in deinem Beispiel?

Vielen Dank!

25.08.2021, 17:58

klauss

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RE: Abbildungen zwischen R^n und R^m

Zitat:

könnte ich mit dieser Funktion ebenso jedem Raumpunkt einen skalaren Wert zuweisen?

Ja. Ein anderes Beispiel für eine Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ wäre die Massendichteverteilung eines Körpers, über die man dann durch Integrieren die Gesamtmasse des Körpers berechnen kann.
Mit der Vorstellung $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ , jedem Ebenenpunkt einen skalaren Wert zuzuweisen, dürftest Du keine Schwierigkeit haben.

Zitat:

das totale Differential, gibt es eine Aussage darüber ab, wie stark sich die Temperatur für einen Beobachter ändert, wenn er im R^3 ein "Stückchen wandert"?

Würde ich im Prinzip so stehen lassen.

Um mit solchen Funktionen zu rechnen, wird man sich letztlich von der Visualisierung lösen müssen. Während sich $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ noch recht gut graphisch darstellen läßt, war mein Temperaturbeispiel bereits dem Umstand geschuldet, dass man sich damit im Sachzusammenhang über das Problem vierdimensionaler Zeichnungen etwas hinweghelfen kann.

Bahnkurven hingegen kenne ich nur als Abbildungen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ in höher-dimensionale Räume, da das Objekt selbst ja eindimensional ist.

Viel mehr will gar nicht dazu sagen. Wenn es um mehr Theorie auf diesem Gebiet geht, gibt es hier auf jeden Fall bessere Helfer, insbes. aus der physikalischen Praxis, wo sowas ständig gebraucht wird.

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