Wahrscheinlichkeit für 2 aus 4 aus 5

20.08.2021, 23:24

theniles

Wahrscheinlichkeit für 2 aus 4 aus 5

Hi Zusammen,

Wahrscheinlichkeitsrechnung ist und bleibt mein Kryptonit. Folgende, wahrscheinlich einfache, Frage.

Ein Kartenspiel besteht aus nur 5 Karten (a,b,c,d,e).

Aus diesen 5 Karten darf ich mir 4 aussuchen.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich in meinen 4 gewählten Karten die Karten a und b befinden? Also die Wahrscheinlichkeit für 2 aus 4 aus 5 Karten?

Ich habe es händisch schon ausprobiert und komme auf das Ergebnis 3, wie ich da jetzt aber rechnerisch hinkomme verstehe ich nicht.

Mein Ansatz:
Ich dachte mir, dass es dasselbe wie beim Lotto wäre. Wenn man sich beim Lotto ausrechnen möchte wie hoch die Wahrscheinlichkeit für 4 Richtige (also 4 aus 6 aus 49) ist, rechnet man: $\begin{eqnarray*} P=\frac{{6\choose 4}\times {43\choose 2} }{49\choose 6} \end{eqnarray*}$

Aber das funktioniert in meinem Fall nicht. Denn:

Die $\begin{eqnarray*} {49\choose 6} \end{eqnarray*}$ aus dem Lotto-Beispiel entspräche in meinem Fall $\begin{eqnarray*} {5\choose 4} \end{eqnarray*}$ , denn ich kann 4 aus 5 Karten wählen.
Die $\begin{eqnarray*} {6\choose 4} \end{eqnarray*}$ aus dem Lotto-Beispiel entspräche in meinem Fall $\begin{eqnarray*} {4\choose 2} \end{eqnarray*}$ , denn ich will 2 bestimmte Karten in den 4 Gewählten haben.
Aber die $\begin{eqnarray*} {43\choose 2} \end{eqnarray*}$ aus dem Lotto-Beispiel kann ich hier nicht anwenden, da käme ein unmöglicher Binominal-Koeffizient raus, nämlich $\begin{eqnarray*} {1\choose 2} \end{eqnarray*}$ .

Ich bin mir fast sicher, dass ich hier nicht versuchen sollte 1:1 von dem Lotto-Beispiel abzuspringen, ich verstehe allerdings auch nicht warum das nicht geht, denn eigentlich haben wir doch genau dieselbe Fragestellung wie beim Lotto.

Kann mich jemand aufklären? Und möglicherweise einen nachvollziehbaren Rechenweg aufzeigen?

Vielen Dank smile

20.08.2021, 23:46

theniles

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Zitat:

Ich habe es händisch schon ausprobiert und komme auf das Ergebnis 3

Sorry, damit meine ich: Es gibt 3 von insgesamt 5 Möglichkeiten, in denen a und b gezogen werden, Wahrscheinlichkeit also 3/5.

20.08.2021, 23:49

klauss

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RE: Wahrscheinlichkeit für 2 aus 4 aus 5
Die $\begin{eqnarray*} {6\choose 4} \end{eqnarray*}$ aus dem Lotto-Beispiel entsprächen in Deinem Fall $\begin{eqnarray*} {2\choose 2} \end{eqnarray*}$ , denn Du willst beide vorgegebenen Karten in den 4 Gewählten haben.
Die $\begin{eqnarray*} {43\choose 2} \end{eqnarray*}$ aus dem Lotto-Beispiel entsprächen dann $\begin{eqnarray*} {3\choose 2} \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} {2\choose 2} \cdot {3\choose 2} \end{eqnarray*}$ gilt dann wie bei Lotto-Beispiel:
Die Summe der unteren Zeile ergibt die Anzahl der gezogenen Objekte, die Summe der oberen Zeile ergibt die Anzahl aller Objekte.

20.08.2021, 23:57

theniles

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Zitat:

Die (64) aus dem Lotto-Beispiel entsprächen in Deinem Fall (22), denn Du willst beide vorgegebenen Karten in den 4 Gewählten haben.

Versteh ich nicht, warum sinds beim Lotto 4 aus 6 und bei mir 2 aus 2, ich will doch 2 aus 4

21.08.2021, 00:06

klauss

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Du willst insgesamt 4 aus 5 Karten ziehen. Von den gezogenen sollen 2 aus 2 ("beide") bestimmten sein und die anderen 2 aus den restlichen 3.
Du hättest damit bei Deinem Mini-Lotto also die höchste Gewinnklasse erzielt.

21.08.2021, 06:53

early

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RE: Wahrscheinlichkeit für 2 aus 4 aus 5
hypergeometrische Verteilung:

(2über2)*(3über2)/(5über2) = ...

21.08.2021, 07:49

HAL 9000

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Eine ganz einfache Lösung:

Das Ereignis, dass sich a und b unter den ausgewählten 4 Karten befindet ist gleichbedeutend damit, dass die eine nicht ausgewählte Karte weder a noch b ist, d.h. aus c,d,e stammt. Diese Wahrscheinlichkeit ist gleich $\begin{eqnarray*} \frac{3}{5} \end{eqnarray*}$ , da jede der 5 Karten a,b,c,d,e mit gleicher Wahrscheinlichkeit die Nichtauswahl-Karte ist.

@early

Kleiner, aber für das Ergebnis fataler Verschreiber: (2über2)*(3über2)/(5über4)

21.08.2021, 12:42

early

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Danke, HAL, für die Richtigstellung. smile

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