Kompliziertes Integral

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Grimmzahn Auf diesen Beitrag antworten »
Kompliziertes Integral
Meine Frage:
Ich möchte dieses Integral analytisch Lösen:

EDIT(Helferlein): Latex korrigiert.

Meine Ideen:
Wahrscheinlich geht es mit Substitutuon und\oder partiellen Integration.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Der Radikand besitzt die Faktorisierung . Das Integral ist daher an der oberen Grenze 1 nicht definiert. Dennoch ist das Integral im strengen Sinn nicht uneigentlich, denn der Integrand ist stetig ergänzbar, da auch eine Nullstelle des Zählerpolynoms ist:



Mit der Substitution



bekommt man als Integranden ein Produkt aus einem Polynom und . Jetzt kommt man mit der klassischen Substitution



weiter. Man kann die Substitutionen gleich zusammensetzen zu



Man erhält so ein Integral über ein Polynom in . Zur Kontrolle für dich ein mögliches Zwischenergebnis:



Für Integrale vom Typ gibt es aber eine Rekursionsformel, die man mitteles partieller Integration gewinnt.

Als Ergebnis habe ich erhalten.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
..., da auch eine Nullstelle des Zählerpolynoms ist:
...

Du meinst wohl: Nennerpolynom

mY+
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ich meine Zählerpolynom.

Wie fast immer gibt es verschiedene Wege zum Ziel. In kann man auch den Wurzelausdruck substituieren:



Aufgelöst nach erhält man den rationalen Term



Die Substitution liefert daher eine rationale Funktion in . Die Integration gelingt mit Standard-Methoden. Stichwort: Partialbruchzerlegung.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich verstehe.
---------
Deine letzte Methode scheint wesentlich sympathischer, so etwas hatte ich auch im Sinn, bin nur noch nicht dazugekommen.
Das CAS gibt übrigens einen ellenlangen Ausdruck aus, mit sgn und so weiter..

Gr mY+
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