Standardabweichung für Schüler (durchschnittliche Abweichung vom Mittelwert)

24.08.2021, 10:28

MartinL

Standardabweichung für Schüler (durchschnittliche Abweichung vom Mittelwert)

Guten Morgen,

ich bin Lehrer in der Sekundarstufe 2 und werde nun zum zweiten Mal in meinem Lehrerleben die Standardabweichung mit Schüler*innen erarbeiten. Grundsätzlich klappt das auch, jedoch kam im letzten Durchlauf eine Frage auf, die ich nicht zufriedenstellend beantworten konnte.

Motiviert wird die Standardabweichung in Schulbüchern meist durch verschiedene Messreihen, die zwar das gleiche arithmetische Mittel besitzen, jedoch eine unterschiedliche Streuung. Um die Streuung zu erfassen wird dann zunächst der Abstand der Messwerte zum Mittelwert berechnet, dabei taucht dann das Problem auf, dass ein Messwert mal oberhalb und mal unterhalb des Mittelwertes liegt, deshalb betrachtet man zunächst die quadratischen Abstände zum Mittelwert.
Aus diesen quadratischen Abständen bestimmt das arithmetische Mittel (Varianz) und dann zieht man daraus die Wurzel und erhält so die Standardabweichung.

Die Frage die im letzten Jahr aufgekommen ist und mich überrascht hat, weil ich mich das vorher einfach nicht gefragt hatte war folgende:

"Warum nimmt man nicht einfach den Durchschnitt der Abstände zum Mittelwert?"

Also statt

Standardabweichung: $\begin{eqnarray*} s = \sqrt{\frac{1}{n}((x_1-m)^2+(x_2-m)^2+...+(x_n-m)^2)} \end{eqnarray*}$

"neue" Standardabweichung: $\begin{eqnarray*} s = \frac{1}{n}(\sqrt{(x_1-m)^2}+\sqrt{(x_2-m)^2}+...+\sqrt{(x_n-m)^2}) \end{eqnarray*}$

Diese Frage scheint mir total angebracht, insbesondere wenn man bei Erklärungen im Internet zur Standardabweichung ständig davon liest, dass es um den Abstand zum Mittelwert geht.

Bei Statista findet man in der Definition sogar die (meiner Meinung nach falsche) Vereinfachung:
"Vereinfacht gesagt, ist die Standardabweichung die durchschnittliche Entfernung aller gemessenen Ausprägungen eines Merkmals vom Durchschnitt. "
https://de.statista.com/statistik/lexikon/definition/126/standardabweichung/

Hat irgendjemand eine Idee, wie man das den Schülern vernünftig erklären kann?

Viele Grüße
Martin

24.08.2021, 11:12

HAL 9000

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Zitat:

Original von MartinL
"neue" Standardabweichung: $\begin{eqnarray*} s = \frac{1}{n}(\sqrt{(x_1-m)^2}+\sqrt{(x_2-m)^2}+...+\sqrt{(x_n-m)^2}) \end{eqnarray*}$

Kann man auch einfacher schreiben als

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}\left(\left|x_1-m\right| + \left|x_2-m\right| + \ldots + \left|x_n-m\right| \right)\qquad (*) \end{eqnarray*}$

und das ist die mittlere absolute Abweichung vom Mittelwert $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ . Interessanter Fakt: Als Funktion betrachtet

$\begin{eqnarray*} g(t) := \frac{1}{n}\left(\left|x_1-t\right| + \left|x_2-t\right| + \ldots + \left|x_n-t\right| \right) \end{eqnarray*}$

ist allerdings nicht der Mittelwert $\begin{eqnarray*} t=m \end{eqnarray*}$ , sondern der Median der Stichprobe die Minimumstelle dieser Funktion!

(*) ist tatsächliche auch eine wichtige statistische Kenngröße einer Stichprobe, aber der Begriff "Standardabweichung" ist nun mal begrifflich reserviert für

$\begin{eqnarray*} s := \sqrt{\frac{1}{n-1}\left(\left(x_1-m\right)^2 + \left(x_2-m\right)^2 + \ldots + \left(x_n-m\right)^2 \right)} \end{eqnarray*}$

(beachte das $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ im Nenner!). Das mag dir gefallen oder nicht, ist aber nun mal so. Maßgeblicher Grund für das $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ im Nenner ist übrigens die Erwartungstreue von $\begin{eqnarray*} s^2 \end{eqnarray*}$ für die Varianz $\begin{eqnarray*} V(X) \end{eqnarray*}$ der Grundgesamheit, aus der diese Stichprobe genommen wird. Warum man nun in der Statistik meist diese Größe bevorzugt statt der mittleren absoluten Abweichung, wird hier kurz angerissen, es finden sich aber noch mehr Gründe.

Zitat:

Original von MartinL
Bei Statista findet man in der Definition sogar die (meiner Meinung nach falsche) Vereinfachung:
"Vereinfacht gesagt, ist die Standardabweichung die durchschnittliche Entfernung aller gemessenen Ausprägungen eines Merkmals vom Durchschnitt. "

Das ist in der Tat eine falsche Beschreibung.

Zitat:

Original von MartinL
wenn man bei Erklärungen im Internet zur Standardabweichung ständig davon liest, dass es um den Abstand zum Mittelwert geht.

Dieses ständig ich für eine Übertreibung - oder du befindest dich in einer Blase. Es überwiegt die Erklärung, dass die Varianz (als Quadrat der Standardabweichung) die mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert ist.

24.08.2021, 11:53

MartinL

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Ja, bei diesem "ständig" mag ich mich in einer Blase befinden, da ich viel auf Seiten geschaut habe, die sich an Schüler*innen richten. Immerhin sind das die Orte, auf die die Schüler*innen bei Schwierigkeiten zunächst stoßen und die sie vielleicht noch verstehen können. Deshalb bin ich von diesen Erklärungen ausgegangen und habe geschaut, inwiefern die sich mit der tatsächlichen Definition vertragen. Im außerschulischen Kontext mag das natürlich anders sein.

Also befürchte ich, dass die Erklärung wohl ist, dass viele Quellen (innerhalb der Blase) zu stark vereinfachen um die Standardabweichung besser greifbar zu machen und damit die falsche Vorstellung erwecken, es ginge um die durchschnittliche Abweichung vom arithmetischen Mittel.

Die Frage ist dann, ob man es irgendwie anders greifbar machen kann. Also die Standardabweichung hat ja die gleiche Einheit wie die Elemente der Stichprobe. Aber was bedeutet die Standardabweichung? Ich finde es schwer, insbesondere im Grundkurs, da etwas greifbares zu schaffen, das die Schüler*innen mit etwas verknüpfen können, was man sich merken kann.
Also wenn ich die Anzahl an Autos auf der Autobahn pro Stunde erhebe, als arithmetisches Mittel erhalte ich 915 Autos pro Stunde, als Standardabweichung erhalte ich 216. Was verrät mir das unmittelbar? Verrät mir das überhaupt etwas? Oder entsteht die Bedeutung der Standardabweichung nur durch die anschließende Nutzung z. B. im Kontext der Hypothesentests (die man im GK "leider" nicht macht).

Bisher kommt es mir vor, da kann aber die Standardabweichung nichts für, das mag am Lehrplan liegen, dass die Schüler*innen im GK lernen, die Standardabweichung als statistische Kenngröße mithilfe der Formel zu berechnen und das wars. Sie kennen dann die Formel und damit ist das Thema mehr oder weniger abgeschlossen.

Die Standardabweichung mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ist im Mathematikbuch der Oberstufe so definiert. Ich habe gerade keine Formelsammlung zur Hand, würde aber vermuten, dass auch dort die von mir verwendete Definition verwendet wird und somit ist diese maßgeblich für das Abitur, dabei muss ich also bleiben. Ich verstehe aber auch nicht, warum es n-1 sein sollte. Also die Erklärung ist kein richtiger Satz, oder ich lese ihn falsch. Auch der Link hilft mir irgendwie nicht weiter.

"Maßgeblicher Grund für das n−1 statt n im Nenner ist übrigens die von s2 für die Varianz V(X) der Grundgesamheit, aus der diese Stichprobe genommen wird."

Viele Grüße
Martin

24.08.2021, 12:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von MartinL
"Maßgeblicher Grund für das n−1 statt n im Nenner ist übrigens die von s2 für die Varianz V(X) der Grundgesamheit, aus der diese Stichprobe genommen wird."

Da muss ich mich entschuldigen: Hier nimmst du Referenz auf den Satz, wie er aussah, bevor ich den Link-Fehler oben korrigiert hatte - diese Korrektur erfolgte allerdings bereits mehr als 15 Minuten vor deinem Beitrag, aber du hast nicht nochmal nachgeschaut.

Vielleicht hilft es auch mal über folgendes nachzudenken: So wie der Median die oben von mir eingeführte Funktion $\begin{eqnarray*} g(t) \end{eqnarray*}$ minimiert, so ist es im Gegensatz dazu tatsächlich der Mittelwert $\begin{eqnarray*} t=m \end{eqnarray*}$ , der die andere Funktion

$\begin{eqnarray*} h(t) := \frac{1}{n-1}\left(\left(x_1-t\right)^2 + \left(x_2-t\right)^2 + \ldots + \left(x_n-t\right)^2 \right) \end{eqnarray*}$

minimiert.

Ein weiterer Grund für die "quadratische" Betrachtung ist, dass man die Varianz als Spezialfall der Kovarianz einer Zufallsgröße (bzw. einer Stichprobe) mit sich selbst betrachten kann. Nur in diesem Kontext machen dann daraus abgeleitete Größen wie Korrelationskoeffizient u.ä. überhaupt Sinn.

24.08.2021, 12:56

MartinL

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Ok, jetzt wird es klarer. Da hatte ich die Seite wohl nicht noch einmal aktualisiert.

Gut, für die Schule bleibt es dann bei der Schulbuchdefinition / Formelsammlung. So tief taucht man ja wie gesagt auch nicht ab, Erwartungstreue und ähnliches spielen keine Rolle, sondern es geht in meinen Augen hauptsächlich darum, nur einmal anzureißen, dass es noch weitere statistische Kenngrößen gibt, als Median und arithmetisches Mittel. Im LK macht man dann damit noch Hypothesentests, da hat man wenigstens noch eine Anwendung.

Statista habe ich schon angeschrieben, eventuell wird der Beitrag ja angepasst und auf die Vereinfachung verzichtet.

Viele Grüße
Martin

24.08.2021, 13:24

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von MartinL
Also wenn ich die Anzahl an Autos auf der Autobahn pro Stunde erhebe, als arithmetisches Mittel erhalte ich 915 Autos pro Stunde, als Standardabweichung erhalte ich 216. Was verrät mir das unmittelbar?

Dass, eine Normalverteilung vorausgesetzt, meistens (in 68% der Fälle) zwischen 699 und 1131 Autos unterwegs sind. Und nicht zwischen 900 und 930 (sehr kleine Streuung) oder zwischen 15 und 1815 (sehr große Streuung).

Im Alltag ist die Standardabweichung das, was gemeinhin mit "plusminus" ausgedrückt wird. Was verbraucht Dein Auto? Sieben Liter, plusminus einen. Wieviel wiegst Du? So achtzig Kilo, plusminus zwei.

Viele Grüße
Steffen

24.08.2021, 13:29

MartinL

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Ja, das kommt ja am Ende als 1-Sigma-Regel. 68 % der Werte liegen innerhalb einer Standardabweichung, x % innerhalb zwei Standardabweichungen (2-Sigma-Regel) und y % innerhalb von drei Standardabweichungen (3-Sigma-Regel).

Das bleibt für Schüler aber trotzdem abstrakt. Also das kann man ihnen sagen, aber im GK fehlt die Zeit für sinnvolle Anwendung, und insbesondere fehlt die Zeit, genauer darauf einzugehen, warum das so ist. Dieser ganze Normalverteilungsblock und Signifikanztests und Hypothesentests werden leider nur im LK behandelt. Also ich dürfte das im GK sicherlich auch behandeln, aber dann fälllt etwas anderes hinten rüber.

Viele Grüße
Martin

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