Bijektivität und Inverse für Abbildung in F_2^8 zeigen

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KonverDiv Auf diesen Beitrag antworten »
Bijektivität und Inverse für Abbildung in F_2^8 zeigen
Hallo,

ich habe zwei Abbildungen gegeben und . Beide Abbildungen setzen sich aus einer 8x8 Matrix () multipliziert mit einem Vektor aus s und Addiert mit einem Zahlenvektor bestehend aus Einsen und Nullen (nenne ich hier mal ) zusammen, etwa (Ich hoffe, Ihr könnt mir folgen). Ich möchte jetzt zum einen die Bijektivität zeigen und zweitens, dass die beiden Abbildungen invers zueinander sind.

Für die Bijektivität habe ich noch keinen Ansatz, bis auf, dass für die Bijektivität gelten muss, dass es injektiv und surjektiv ist. Dass die beiden Abbildungen invers zueinander sind, würde ich über den Ansatz aus der linearen Algebra zeigen, aber was ist dann mit dem ?...

Welche Ansätze gibt es denn die Bijektivität zu zeigen und dass die beiden Abbildungen invers zueinander sind?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Liegen konkrete Matrizen und vor ? Im allgemeinen scheinen die Abbildungen für nur invers zueinander zu sein, wenn ist. Für andere Matrizen musst du nur rechnen, dann siehst du, ob für alle ist oder nicht.
KonverDiv Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Elvis,

danke für deine Antwort!

Zitat:
Original von Elvis
Liegen konkrete Matrizen und vor ?


Ja, ich habe zwei 8x8 Matrizen und zwei Vektoren

Zitat:
Original von Elvis
Für andere Matrizen musst du nur rechnen, dann siehst du, ob für alle ist oder nicht.

Wie kommst du auf diesen Gedanken? Der mathematische Hintergrund würde mich interessieren, das hat etwas mit der Eindeutigkeit der Bildvektoren im bijektiven Fall zutun oder?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn A(B(x))=x und B(A(x))=x ist für alle x, dann ist A die Umkehrabbildung von B und B die Umkehrabbildung von A und A und B sind bijektiv.

Da beide Abbildungen auf derselben endlichen Menge definiert sind, genügt auch schon zu zeigen A(B(x))=x für alle x.

Wenn es nicht so ist, können immer noch beide Abbildungen oder eine von ihnen injektiv oder surjektiv und damit bijektiv sein.
Pass auf, dass du nicht Abbildung A und Matrix A mit einander verwechselst. Es ist nicht ganz glücklich, beide mit demselben Namen zu bezeichnen.
KonverDiv Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Elvis,

danke für deine Antwort!

Wie kann man denn A(B(x))=x und B(A(x))=x zeigen? Es reicht hier ja sicherlich nicht aus einfach ein Beispiel x zu wählen und einzusetzen, da dies ja für alle x zu zeigen ist?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du nur A und B und k sagst, dann sage ich nur x. Du musst schon konkreter werden, wenn du konkrete Antworten haben willst.
 
 
KonverDiv Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also ich habe in jeder Abbildung je eine 8x8 Matrix gegeben, sowie einen dazugehörigen Vektor, hier einmal die minimierte Kurzschreibweise:

mit

mit
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Dann kannst du ganz einfach mein x durch dein b erstzen und nachrechnen, ob oder ob nicht A(B(b))=B(A(b))=b ist.
KonverDiv Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, sagen wir b = (1 1 0 0 1 1 0 0)^T und zufällig gilt hier A(B(b))=B(A(b))=b. Dann ist dies doch immer nur noch gezeigt für ein spezielles b und nicht für alle b?!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wie du selbst gemerkt hast, ist das nicht genug. Du musst natürlich mit deinem allgemeinen rechnen.
KonverDiv Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Elvis,

danke! Ja, dann ist es ja wirklich nur "ausrechnen" von A(B(b))=B(A(b))=b... (um zu zeigen, dass die Abbildungen invers zueinander sind).

Für die Bijektivität könnte man sich da nicht auch einfach den Zeilen/Spaltenrank ansehen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, hier eine Bijektion auf mit Matrix vom Rang 1 :


IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Nein, hier eine Bijektion auf mit Matrix vom Rang 1 :




Es gilt doch aber auch .

Rang 1 bedeutet es wird nur eindimensionaler Unterraum getroffen. Ob man den Unterraum jetzt um verschiebt, ändert nichts daran, dass er eindimensional bleibt.
KonverDiv Auf diesen Beitrag antworten »

IfindU, ich würde dem so zustimmen. Dann wäre das aber keine Bijektion mehr, oder? Das Bild (0 1)^T wird hier zweimal bei verschiedenen "Eingaben" getroffen...
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