Spiel, Satz und Stochastik (Tennis)

24.08.2021, 19:17

Juliano

Spiel, Satz und Stochastik (Tennis)

Meine Frage:
Bei einem Tennismatch ist der aufschlagende Spieler in der Regel im Vorteil. Er kann bei seinem Aufschlag sofort ein Ass schlagen oder durch einen geschickten Aufschlag zumindest den folgenden Ballwechsel gewinnen.
Für eine Modellrechnung unterstellen wir, dass ein Spieler S im Spiel gegen seinen Gegner G seinen Aufschlag jeweils mit einer gleichbleibenden Wahrscheinlichkeit p gewinnt, während sein Gegner G seinen Aufschlag jeweils mit einer gleichbleibenden Wahrscheinlichkeit q gewinnt.
Dabei gilt nicht unbedingt p = 1 ? q . Es könnte zum Beispiel p = 0, 7 und q = 0, 6 gelten Das würde bedeuten, dass der Spieler S seinen Aufschlag
jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,7 gewinnt, während sein Gegner G seinen Aufschlag jeweils nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,6 gewinnt.

Ermittle die Wahrscheinlichkeiten, dass
- Spieler S eines seiner Aufschlagspiele gewinnt,
- Spieler G eines seiner Aufschlagspiele gewinnt,
- Spieler S einen Satz gewinnt,
- Spieler S das ganze Match gewinnt.

Meine Ideen:
Das ist eine Klausurersatzleistung. Und ich habe keine Ahnung, wie ich da ran gehen muss.
Ich bitte um Hilfe!

24.08.2021, 19:45

HAL 9000

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Tja, dazu muss man die Tennis-Punktzählregeln in entsprechende Wahrscheinlichkeitsrechnungen umsetzen. Um das tun zu können, muss man sich über die überhaupt erstmal im klaren sein!

Zitat:

Original von Juliano
- Spieler S eines seiner Aufschlagspiele gewinnt,
- Spieler G eines seiner Aufschlagspiele gewinnt,

Sieg in einem Spiel erfordert mindestens 4 Punkte und dabei mindestens 2 mehr als der Gegner. (EDIT: Als Anschub - wenn der aufschlagende Spieler den Punkt mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ macht, dann gewinnt er das Spiel mit Wahrscheinlichkeit

$\begin{eqnarray*} \frac{15-34p+28p^2-8p^3}{1-2p+2p^2}p^4 \end{eqnarray*}$ .

Hab ich vom CAS ausrechnen lassen, musste es natürlich passend füttern. Augenzwinkern

)

Zitat:

Original von Juliano
- Spieler S einen Satz gewinnt,

Hier wird's schon kritisch: Wird hier mit Tie-Break gespielt, oder nicht? Der Tie-Break hat nochmal eigene Regeln...

Zitat:

Original von Juliano
- Spieler S das ganze Match gewinnt.

Wieviel Gewinnsätze sollen es hier sein? Üblich sind 2 oder 3.

Zitat:

Original von Juliano
Das ist eine Klausurersatzleistung.

Hübscher Brummer. Dünnbrettbohren ist da wohl eher nicht drin - da hätte ich lieber die Klausur geschrieben.

EDIT (30.8.): Das scheint sich nun auch Juliano zu denken, da er sich auch nach knapp einer Woche nicht mehr blicken lässt.

11.09.2021, 13:32

Juliano

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Wie kommen sie auf diese Wahrscheinlichkeit? Ich hab das nämlich nicht verstanden woher die ganzen Zahlen kommen... unglücklich

11.09.2021, 13:38

HAL 9000

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Hat doch Huggy hier (den Thread kannte ich bis heute nicht) sehr ausführlich dargelegt, wobei sein $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ dort nicht deinem $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ hier aus deinem Thread entspricht, sondern einfach $\begin{eqnarray*} q=1-p \end{eqnarray*}$ meint.

Alle Zwischenergebnisse stehen dort, nur das Einsetzen in die Endformel ganz unten fehlt noch. Und das führt dann auf die Formel, die ich hier oben angegeben hatte.

Die Berechnung von $\begin{eqnarray*} P(E) \end{eqnarray*}$ aus dem anderen Thread kann man alternativ auch so erklären: Vom Einstand 40:40 ausgehend gewinnt der Aufschlagende genau dann, wenn er $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ weitere Male über Einstand geht ( $\begin{eqnarray*} k=0,1,\ldots \end{eqnarray*}$ ) und anschließend zweimal hintereinander punktet. Dabei geht man von Einstand zu Einstand genau dadurch, dass von zwei Aufschlägen jeder genau einen Punkt macht, wobei die Reihenfolge egal ist - das geschieht mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} 2p(1-p) \end{eqnarray*}$ . Insofern ist

$\begin{eqnarray*} P(E) = p^2\cdot \sum_{k=0}^{\infty} \left(2p(1-p)\right)^k = \frac{p^2}{1-2p(1-p)} \end{eqnarray*}$ ,

letzteres per Geometrischer Reihenformel.

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