Teilraum von V

25.08.2021, 11:11

Sequel

Teilraum von V

Meine Frage:
Hallo Mathefreunde,
Ich habe eine Frage bezäglich einer Aufgabe.

Sei V={f: ? ? ?} der Vektorraum der reellen Funktionen. Untersuchen Sie, ob T={f: ? ? ? |f(?)=0} ein Teilraum von V ist.

Wie kann ich hier die Teilraumkriterien prüfen? (Mir ist es egal ob wir die Aufgabe zusammen lösen oder mir einfach der Lösungsweg vorgeworfen wird. Nehme jede Hilfe dankend an!)

Meine Ideen:
Mein bisheriger Ansatz war das Teilraumkriterium mit:
1) Nullvektor (also hier Nullfunktion) enthalten? (? Meiner Meinung nach ja, da f(?)=0)
2) Abgeschlossenheit bezüglich Addition
3) Abgeschlossenheit bezüglich Skalarmultiplikation

25.08.2021, 11:19

Leopold

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Du hast die Kriterien genannt. Jetzt geht zunächst an 2).

Seien $\begin{align*} f,g \end{align*}$ Funktionen mit $\begin{align*} f(\pi)=0, \ g(\pi)=0 \end{align*}$ . Jetzt betrachte die Summenfunktion $\begin{align*} s = f+g \end{align*}$ . Sie ist folgendermaßen definiert:

$\begin{align*} s(x) = f(x) + g(x) \, , \ \ x \in \mathbb{R} \end{align*}$

Und was ist nun an der Stelle $\begin{align*} x=\pi \end{align*}$ ?

25.08.2021, 11:29

Sequel

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Dann müsste es ja sein:

s(pi) = f(pi) + g(pi) = 0 + g(pi)

s(pi) = g(pi)

Und somit ist es abgeschlossen bzg. der Addition?

25.08.2021, 11:31

Leopold

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Zitat:

Original von Sequel
s(pi) = f(pi) + g(pi) = 0 + g(pi)

Da geht noch mehr. Schließlich ist ja auch $\begin{align*} g \in T \end{align*}$ .

25.08.2021, 11:35

Sequel

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Dann wäre es s(pi) = f(pi) + g(pi) = 0 + 0

das heißt s(pi) = f(pi) = g(pi)

25.08.2021, 11:45

Leopold

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Ich sehe schon, wir müssen kleiner anfangen. In

$\begin{align*} T = \left\{ \left.\ f: \, \mathbb{R} \to \mathbb{R} \ \right| \ f(\pi) = 0 \ \right\} \end{align*}$

werden gewisse Elemente von $\begin{align*} V \end{align*}$ durch die Bedingung $\begin{align*} f(\pi)=0 \end{align*}$ charakterisiert. Es gibt Funktionen, die das erfüllen, zum Beispiel $\begin{align*} f=0 \end{align*}$ (Nullfunktion) oder $\begin{align*} f=\sin \end{align*}$ (Sinusfunktion). Andere Funktionen erfüllen das Kriterium nicht, zum Beispiel $\begin{align*} f \end{align*}$ mit $\begin{align*} f(x) = x^2 \end{align*}$ .

Um nun 2) zu überprüfen, nimmt man sich zwei Funktionen $\begin{align*} f,g \in T \end{align*}$ , also zwei Funktionen, für die $\begin{align*} f(\pi)=0 \end{align*}$ und $\begin{align*} g(\pi)=0 \end{align*}$ gilt. (Zum Beispiel könnte $\begin{align*} f = \sin \end{align*}$ und $\begin{align*} g \end{align*}$ die Funktion mit $\begin{align*} g(x) = x - \pi \end{align*}$ sein. Oder irgendwelche anderen Funktionen, die bei $\begin{align*} \pi \end{align*}$ eine Nullstelle besitzen.)

Jetzt betrachtet man die Summenfunktion $\begin{align*} s = f+g \end{align*}$ und muß überprüfen, ob auch diese die Nullstelle $\begin{align*} \pi \end{align*}$ besitzt. Falls ja, gilt $\begin{align*} s \in T \end{align*}$ , falls nein, gilt $\begin{align*} s \not \in T \end{align*}$ . Im ersten Fall ist die Abgeschlossenheit von $\begin{align*} T \end{align*}$ gegenüber der Addition gezeigt, im zweiten Fall widerlegt.

Wichtig! $\begin{align*} f,g \end{align*}$ müssen beliebig in $\begin{align*} T \end{align*}$ gewählt werden. Man darf also nicht konkrete Funktionen wählen. Das oben waren nur Beispiele.

25.08.2021, 11:52

Sequel

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Wäre das also so möglich?

1) Der Nullvektor liegt in T, da die Nullfunktion pi auf 0 abbildet.

2) Abgeschlossenheit bezüglich Addition: Seien f, g in T, dann gilt f(pi)=g(pi)=0. Was ist dann (f+g)(pi)?
s(x) = f(x) + g(x) | x = pi
s(pi) = f(pi) + g(pi) | f(pi) = g(pi) = 0
s(pi) = 0 + 0 = 0
T ist bezüglich der Addition abgeschlossen.

3) Abgeschlossenheit bezüglich Skalarmultiplikation: Sei f in T und lambda in R, dann ist wieder f(pi)=0. Was ist dann (lambda·f)(pi)?
f(pi) = 0
(lambda·f)(pi) = lambda·0 = 0
T ist bezüglich der Skalarmultiplikation abgeschlossen.

Fehlt da noch was oder habe ich irgendetwas falsch verstanden? Vielen Dank übrigens bis hierher!

25.08.2021, 11:56

Leopold

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So macht man das. Freude

Vielleicht solltest du vor deinem letzten Satz jeweils noch "Folge: $\begin{align*} f+g \in T \end{align*}$ " beziehungsweise "Folge: $\begin{align*} \lambda f \in T \end{align*}$ " einfügen.

25.08.2021, 11:59

Sequel

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Danke danke danke! Kann ich das auch mathematisch so formulieren, ohne dass ich etwas von meinen Tutoren auf den Deckel bekomme?

25.08.2021, 12:02

Leopold

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Mit was deine Tutoren herumschmeißen, weiß ich nicht. Meine Zeit als Student liegt schon etwas länger zurück. Mit Topfdeckeln bewaffnete Tutoren gab es damals nicht. Aber das mag sich heute geändert haben. Im Fall des Falles einfach in Deckung gehen. Im übrigen gilt: Das MatheBoard übernimmt keine Verantwortung für die Folgen der Beiträge seiner Nutzer.

07.09.2021, 22:25

RomanGa

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Hallo Sequel, nach meinen Unterlagen ist *nicht* zu prüfen, ob der Nullvektor enthalten ist. Dies bestätigen auch https://de.wikipedia.org/wiki/Untervektorraum und alle weiteren Quellen, die ich im Netz gefunden habe. Aber wenn das in eurem Skript steht, dann mach das halt.

07.09.2021, 22:31

IfindU

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@RomanGa

Lies dir mal durch was Wikipedia noch zur Definition zu sagen hat:

Zitat:

Äquivalent zur ersten Bedingung kann man auch fordern, dass der Nullvektor von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ enthalten ist. Enthält nämlich $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ zumindest ein Element, dann ist aufgrund der Abgeschlossenheit von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ bezüglich der Skalarmultiplikation auch der Nullvektor in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ enthalten (setze $\begin{eqnarray*} \alpha =0 \end{eqnarray*}$ ). Umgekehrt ist die Menge $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ , wenn sie den Nullvektor enthält, nichtleer.

08.09.2021, 14:21

RomanGa

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Hallo IfindU, super, vielen Dank für den Hinweis. Stimmt. Wer lesen kann, ist klar im Vorteil. Freude

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